Лекция 2.                                                                                                      Электростатика.

                                   § 2 – 1 Потенциал электрического поля.

       Как уже отмечалось, пробный заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией. Однако величина этой энергии зависит от величины заряда q. Для того, чтобы можно было охарактеризовать само поле, условились относить величину потенциальной энергии заряда q к величине этого заряда. Эту величину принято называть потенциалом электрического поля. Здесь необходимо напомнить, что само определение потенциальной энергии содержит в себе неоднозначность, т.к. эта энергия определена с точностью до некоторой постоянной. Для однозначной характеристики электрического поля принято определять эту постоянную при удалении заряда q на бесконечность. Считается, что два за-ряда, удаленные друг от друга на бесконечность, не взаимодействуют, т.е. их энергия взаимодействия и, следовательно, постоянная равны нулю. Поэтому можно сказать, что по-тенциалом электрического поля j называется работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Из выражения для работы А следует, что потенциал j равен

                                                             j =

Потенциал – величина скалярная, он удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. потенциал от суммы зарядов равен сумме потенциалов от каждого заряда в отдельности. Если заряд q равный 1 Кулону, перемещается из одной точки поля в другую, то соответствующую работу называют разностью потенциалов или напряжением U, т.е.

                                                Dj =U = ;

где R₁ и R₂ соответствуют начальному и конечному положению единичного положитель-ного зваряда. Единицей напряжения, как известно, служит один Вольт. При перемещении произвольного заряда q величина совершаемой работы увеличивается в q раз.

                      Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

       Связь между потенциалом и напряженностью поля легко установить из выражения для элементарной работы dA. Так dA можно записать через напряженность поля Е и перемещение dl: dA = qEcosbdl, где b - угол между Е и dl. С другой стороны, используя определение потенциала, работа dA = qdj. Из этих выражений следует, что  dj = Ecosbdl =

= E_l dl, и

                                                                j =   .

     Обратная связь между напряженностью и приращением потенциала должна иметь вид , однако следует отметить, что напряженность поля – вектор. Поэтому производная  должна иметь смысл производной по направлению. Для положительного заряда вектора напряженности положительны и направлены от заряда и в сторону умень-шения потенциала. Поэтому перед производной необходимо поставить знак минус, т.е.

                                                          .

 Из этого выражения видно, что величина производной зависит от угла между Е и dl. Так для направления, перпендикулярного Е, проекция E_l равна нулю; наоборот, для направле-ния вдоль Е производная по dl максимальна и равна Е, т.е.

                                                    _{в направлении Е}.

Термин «производная по направлению» становится более понятным в применении к прямо-угольным координатам. Рассматривая поочередно проекции Е на оси x,y и z можно напи-сать:

                             

где     i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е нахо-дится как сумма:

                                                        E = Е_х + Е_у + Е_z.

В теории поля производная по направлению наибольшего изменения функции называется градиентом (grad), т.е. связь между напряженностью и потенциалом имеет вид:

                                                             E = - grad j.

В направлении, перпендикулярном вектору Е, величина производной от потенциала рав-на нулю, т.е. в этом направлении потенциал остается постоянным. Линии или поверхности, соединяющие точки с одинаковыми потенциалами, принято называть эквипотенциальны-ми. Примером топологии эквипотенциалей может служить рис.2 предыдущей лекции. Соотношение Е = - Dj ¤D l показывает, что напряженность поля можно измерять в единицах Вольт / метр.

                                    § 2 – 2 Проводники в электрическом поле.

    Статический заряд на проводниках распределяется так, чтобы поле внутри проводника было бы равно нулю. В противном случае возникновение электрического поля приведет к движению зарядов. Напомним, что проводники (металлы) характеризуются наличием сво-бодных электронов. Нас же интересует статический случай, когда движение зарядов уже прекратилось. Поэтому заряды могут располагаться только на поверхности проводника, причем так, чтобы эта поверхность была эквипотенциальной, иначе при наличии разности в проводнике опять возникнет электрический ток. Напряженность поля вблизи поверхности можно найти по теореме Гаусса, выбирая на ней достаточно малый элемент площади так, чтобы поле сохраняло свою однородность. Можно выбрать этот элемент так же, как и при вычислении поля от заряженной плоскости (см. рис.6) с той лишь разницей, что поток через основание параллелпипеда, лежащее внутри проводника, будет равнен нулю (поля внутри проводника нет). С учетом этого

                                                            .

Рис.9. Поле на остриях.

По поверхности проводника заряды, вообще говоря, располагаются неравномерно. Так на острых концах наблюдается повышенная концентрация зарядов, при-водящая к увеличению напряженности поля иногда до таких значений, что окружающий острия воздух иони-зируется, и возникает кистевой разряд (огни Св. Эльма

на топах мачт судов во время бури). Суть этих явлений в том, что элемент площади dS заряженного тела создает поле как снаружи, так и внутри тела, по поле, направленное внутрь, компенсируется действием соседних участков (поле внутри проводника равно нулю). Если кривизна поверхности мала (см. рис.9), то суммарное поле соседей dE_S тоже мало, но с увеличением кривизны оно возрастает так, что для его компенсации на выбран-

ном элементе dS должно скапливаться больше зарядов.

      На незаряженном проводнике, помещенном в электрическое поле, происходит индук-ция зарядов. При этом заряды на ближнем и дальнем концах проводника по отношению к источнику поля имеют разные знаки так, что при исчезновении поля суммарный заряд на проводнике снова оказывается равным нулю. Это явление известно как электростатическая индукция. Однако внешнее поле не может проникнуть внутрь проводника, что используется для так называемой электростатической экранировки: экранируемый объект обшивается ме-таллическими листами. Обратное, ввобще говоря, неверно: если внутри металлической по-лости по каким-либо причинам возникли заряды, то их действие распространяется за метал-лический экран. Чтобы этого не происходило, экран требуется заземлить.

                                                     § 2 – 3 Электроемкость.

       Между зарядом и потенциалом проводника существует определенная взаимосвязь. Коэффициент пропорциональности между ними носит название электроемкости или прос-то емкости: Сj =q. Беря приращение от обеих частей, имеем: СDj =Dq или CU =Dq. Отсюда

. Единицей емкости является фарада (1 F). 1F = ; 10^-6 фарады = 1 мкф (микрофарада), 10^-12 фарады = 1 пкф (пикофарада). Величину емкости любого проводника легко определить, деля величину заряда проводника на его потенциал. Так металлический шар радиуса R, несущий заряд Q, имеет потенциал

                                                               

Следовательно, его емкость С равна С = 4pe₀R.

      Как видно из этой формулы, электроемкость пропорциональна размерам провод-ника,и для получения больших емкостей требуются гигантские размеры проводников. Даже Земля имеет емкость чуть больше 600 мкф. Поэтому для практических целей используется система из двух противоположно заряженных пластин, называемая конденсатором. Геометрически это может быть плоская, цилиндрическая или шаровая конфигурация. Самый простой случай – это плоский конденсатор. Как уже было показано, напряженность

Рис.10. К расчету емкости плоского конденсатора.

поля от бесконечной заряженной пластины определяется формулой                               , где s = Q/S – заряд на единицу площади. Если пластины расположены достаточно близко друг к другу, так что поле сосредоточено в области между ними, то, как это видно из рис.10, поля от каждой пластины складываются в области между пластинами и уничтожаются в области снаружи плас-

тин. В этом случае в области между пластинами напряженность поля равна E = s/e₀ и не зависит от расстояния (поле является однородным). Напряжение между пластинами U = Ed, где d – расстояние между пластинами. Поэтому емкость плоского конденсатора С_плс равна

                                                  С_плс =

Забегая немного вперед, можно обобщить это выражения для случая, когда область между пластинами заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e, .

Известны и другие формы конденсаторов. Так, например, цилиндрические обкладки, разделенные слоем стекла, образуют так называемую лейденскую банку. В экспериментах по наблюдению фотоэффекта часто используется шаровой конденсатор. Не так давно, когда в радиотехнике использовались отдельные детали, был популярен трубчатый конденсатор.

                                                 

                                                 Соединение конденсаторов.

Рис.11.Соединение конденсаторов.

Конденсаторы можно соединять параллельно и последова-тельно друг с другом. В первом случае заряды на всех пла-стинах складываются и складываются емкости, тогда как потенциалы всех пластин одинакового знака оказываются одинаковыми:                                                                    ; для последовательного соединения заряды на всех конден-саторах одинаковы, а складываются в этом случае напря-жения: ; ; . В частности, для двух последовательно соединенных кон-денсаторов общая емкость определяется как:

                                          Энергия заряженного конденсатора.

     Пусть имеется конденсатор емкости С, заряженный до напряжения U. Для того, чтобы перенести на него добавочный заряд dQ требуется совершить работу dA = UdQ; но в кон-денсаторе заряд и напряжение связаны соотношением Q = CU, дифференцируя которое, получим dQ =CdU. Тогда dA =CUdU, и полная работа, которую надо совершить для заряда конденсатора

                                           .

       Эта работа превращается в энергию электрического поля конденсатора .

Если учесть, что объем конденсатора V = Sd, то можно говорить о плотности энергии w, где

 

w = . Подставляя в последнюю формулу выражение для емкости плоского конденсатора и учитывая, что U = Ed = sd/e₀, находим:

                                     w = .

Последнее выражение характеризует плотность энергии электрического поля.