Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А). Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n. Из этого определения вытекают следующие свойства: 1. Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы. Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными. Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.     Теорема умножения вероятностей независимых событий При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос: Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого? Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого. Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий: . Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство . Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле . Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А. Теорема умножения вероятностей Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

 

 

Основные понятия математической статистики

Основной целью математической статистики является установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления. Для этого решаются следующие основные задачи: определение способов сбора и обработки информации — результатов наблюдений. Пусть требуется определить наличие какого-либо признака, характеризующего объект, в большой совокупности однородных объектов. Например, это может быть дефект детали в большой партии одинаковых деталей. Для этого можно провести сплошное исследование всей партии деталей (совокупности). Однако часто такой подход оказывается невозможным по ряду причин.

Во-первых, совокупность однородных объектов может быть очень большой, и тогда, анализ всей совокупности оказывается очень трудоемким.

Во-вторых, исследование может быть очень дорогим или быть связано с разрушением объекта, и тогда, сплошное исследование становится бессмысленным. В таких случаях поступают по-другому: из всей совокупности отбирают некоторое число объектов и исследуют только их. Это число должно быть мало по сравнению со всей совокупностью, но достаточно велико, чтобы в этой отобранной группе уже начали проявляться статистические закономерности.

Введем основные понятия, использующиеся в математической статистике.

Определение. Выборочной совокупностью (или выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Определение. Генеральной совокупностью называют совокупность всех объектов, из которых производится выборка.

Определение. Объемом совокупности называют число объектов в этой совокупности.

Пример Из 10000 деталей случайным образом выбирают 100 для исследования. Объем выборки — 100 деталей, объем генеральной совокупности — 10000 деталей.

Выборку можно осуществлять различными способами. Если отобранный предмет после исследования возвращается в генеральную совокупность и снова может участвовать в отборе, то такую выборку называют повторной. Разумеется, такой способ возможен, когда объект не разрушается в результате исследования.

Если отобранный предмет после исследования не возвращается в генеральную совокупность, то такую выборку называют бесповторной.

Средняя арифметическая величина выборки характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений.

Модой выборки называется значение, которое встречается наиболее часто.

Медиа́на — число, характеризующее выборку (например, набор чисел). Если все элементы выборки различны, то медиана — это такое число выборки, что ровно половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше него. В более общем случае медиану можно найти, упорядочив элементы выборки по возрастанию или убыванию и взяв средний элемент. Например, выборка {11, 9, 3, 5, 5} после упорядочивания превращается в {3, 5, 5, 9, 11} и её медианой является число 5. Если в выборке чётное число элементов, медиана может быть не определена однозначно: для числовых данных чаще всего используют полусумму двух соседних значений (то есть медиану набора {1, 3, 5, 7} принимают равной 4),

Размах выборки — разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений.

Пример: Рост студентов: 153, 176, 189, 160, 173, 175, 155, 176, 164, 168. Найти среднее арифметическое, моду, медиану, размах выборки.

 

 

По смыслу выборки она должна быть мала по сравнению с генеральной совокупностью, поскольку иначе можно было бы проводить сплошное исследование. Именно такой случай малых выборок мы и будем в дальнейшем иметь в виду. Тогда, при возвращении объекта в генеральную совокупность после исследования, вероятность отобрать его снова мала и, фактически, нет разницы между повторной и бесповторной выборками. Поэтому в дальнейшем мы не будем конкретизировать способ выборки, а будем пользоваться более удобным способом в вычислениях. В определении выборки указывалось, что это совокупность случайно отобранных объектов. Задача случайного отбора не всегда является тривиальной и, в ряде случаев, требует специальных построений для того, чтобы отбор был действительно случайным. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно большим, что бы начали проявляться закономерности обусловленные законом больших чисел. Такую выборку часто называют репрезентативной (представительной) выборкой .Чтобы обеспечить репрезентативность выборки, выделяют несколько способов отбора объектов.

1. Простой случайный отбор . Объекты перемешивают и вытаскивают по одному наудачу. Если перемешивание объектов технически неосуществимо, то объекты перенумеровывают и вытаскивают наудачу соответствующие номера объектов. В частности, это можно сделать на компьютере с помощью генератора случайных чисел. Компьютер генерирует случайную последовательность чисел, и объекты с соответствующими номерами отбираются в выборку.
2. Типический отбор . Генеральная совокупность делится на отдельные части и из каждой части наудачу отбирается некоторое количество объектов, при этом пропорции между количеством отобранных предметов каждой из частей определяются пропорциями объемов этих частей в генеральной совокупности. Такой способ отбора удобен, когда отдельные части генеральной совокупности имеют сильно различающиеся свойства. Например, при проведении опроса о предпочтениях избирателей на выборах в выборку отбираются избиратели из различных групп — возрастных, по месту проживания, роду деятельности и т.п. в пропорциях соответствующих доле той или иной группы среди всех избирателей.
3. Механический отбор . Генеральная совокупность делится по порядку на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы выбирается один объект. Например, для проверки берут каждую десятую деталь, изготовленную станком. При таком отборе надо иметь в виду, что периодичность отбирания деталей в выборку не должна совпадать с каким-либо другим периодом в формировании объектов. Если через каждые десять изготовленных деталей на станке нужно менять фрезу, то отбор каждой десятой детали нецелесообразен, поскольку если деталь берут сразу после замены фрезы, то такая выборка будет давать качество деталей лучше, чем на самом деле. Если деталь взять перед заменой фрезы, то такая выборка ухудшит показатели по сравнению с реальными.
4. Серийный отбор . Генеральная совокупность делится на группы и для исследования берется одна из групп. Такой способ удобен, когда различные группы не сильно отличаются по своим свойствам. Например, если детали изготовлены на большом количестве одинаковых станков, то для исследования можно выбрать детали, изготовленные одним из станков.

Применяют также и различные комбинации упомянутых выше способов отбора.Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка из n объектов. Пусть значение некоторого признака объекта x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ наблюдалось n₂ раз и так далее. Разумеется, . Значения x_i называются вариантами , а значения n_i — частотами . Варианты, записанные в возрастающем порядке, называют вариационным рядом . Отношения называют относительными частотами , при этом . Определение. Статистическим распределением выборки называют совокупность вариантов и соответствующих им частот (или относительных частот). Определение. Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называют функцию , где n_x — число вариант со значением меньше x.

Определение. Теоретической функцией распределения называют функцию распределения генеральной совокупности.Следует отметить, что относительная частота обладает всеми свойствами вероятности, статистическое распределение обладает всеми свойствами закона распределения, а эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения случайной величины. В силу закона больших чисел, при больших n относительная частота, статистическое распределение и эмпирическая функция распределения будут близки к вероятности, закону распределения и функции распределения соответственно.Несложно обобщить данные понятия и на случай когда варианты принимают не дискретные, а непрерывные значения, нужно только под каждым x_i понимать некоторый интервал значений.Для графического представления статистического распределения используют следующие инструменты.

Математическая статистика изучает методы сбора, обработки и интерпретации результатов опытов (экспериментов).

Генеральной совокупностью называют множество однородных объектов с характерными для них признаками.

Выборочной совокупностью (выборкой) называют подмножество объектов генеральной совокупности, извлеченных из нее случайным образом.

Случайная величина – наблюдаемые (полученные экспериментально) значения некоторого признака, характерного для всех объектов совокупности.

Статистические ряды