Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов  и  можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов  и  можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов  и  можно найти воспользовавшись следующей формулой:

 

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

1. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

1. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

1. Операция скалярного умножения коммуникативна:

1. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

1. 
2. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

 

Векторное произведение

Векторным произведением вектора  на вектор и  называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 1).

рис. 1

Векторное произведение двух векторов  и в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

 

Свойства векторного произведения векторов

• Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов и равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

• Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах и равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

• Векторное произведения двух не нулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
• Вектор , равный векторному произведению не нулевых векторов и , перпендикулярен этим векторам.
• 
• 
• 

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов  и .

Решение:  

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов  и , если их длины , а угол между векторами равен 60˚.

Решение: .