Противоположно направленные вектора

22.04.2020

«Основы программирования: ЯП Python»

Год обучения

Индивидуальная работа

Тема: скалярное и векторное произведения векторов. Формулы. Применение

Цель: познакомиться со скалярным произведением векторов

Задачи обучающие:

· познакомиться с понятием вектора и его координат;

· познакомиться со скалярным и векторным произведением векторов, геометрическая и алгебраическая интерпретации

· научиться применять скалярное и векторное произведение векторов при решении задач;

· реализация функции нахождения расстояния между точками на плоскости и в пространстве средствами Python;

· систематизировать знания обучающихся по данной теме;

· закрепить знания, полученные на предыдущих уроках;

Задачи развивающие:

· развивать умения использовать знания, полученные на уроках информатики, в учебной деятельности;

· развивать логическое мышление, умение обобщать, сопоставлять и применять полученные знания на практике;

· развивать познавательную деятельность обучающихся, развивать умение анализировать происходящие изменения в решении задач;

· развивать познавательный интерес, творческую активность, интеллект;

· развивать интуицию, эрудицию, самостоятельность в суждениях, упорство в достижении цели;

· формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний;

· стимулирование познавательного интереса обучающихся по данной теме и дисциплине Информатика и ИКТ в целом.

Задачи воспитательные:

· воспитание творческого подхода к работе, желания экспериментировать;

· профессиональная ориентация и подготовка к трудовой деятельности;

· воспитание информационной культуры, самостоятельности, ответственности;

· развивать культуру общения, воспитывать внимание, сообразительность, находчивость.

ХОД УРОКА

 

Теория

Определение вектора

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А (x₁; y₁), а концом - точка В (x₂; y₂), обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например . Координаты вектора вычисляются так:

Длина вектора

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB. Формула длины вектора:

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Нулевой вектор

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора  и  называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают:  (рис. 3).

рис. 3

Равные вектора

Определение. Вектора  и  называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

Единичный вектор

Определение. Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

Скалярное произведение

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов  и  будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:       

 

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов  и  будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов  и .

 

Векторное произведение

Векторным произведением вектора  на вектор и  называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 1).

рис. 1

Векторное произведение двух векторов  и в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

 

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов  и .

Решение:  

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов  и , если их длины , а угол между векторами равен 60˚.

Решение: .

 

22.04.2020

«Основы программирования: ЯП Python»

Год обучения

Индивидуальная работа

Тема: скалярное и векторное произведения векторов. Формулы. Применение

Цель: познакомиться со скалярным произведением векторов

Задачи обучающие:

· познакомиться с понятием вектора и его координат;

· познакомиться со скалярным и векторным произведением векторов, геометрическая и алгебраическая интерпретации

· научиться применять скалярное и векторное произведение векторов при решении задач;

· реализация функции нахождения расстояния между точками на плоскости и в пространстве средствами Python;

· систематизировать знания обучающихся по данной теме;

· закрепить знания, полученные на предыдущих уроках;

Задачи развивающие:

· развивать умения использовать знания, полученные на уроках информатики, в учебной деятельности;

· развивать логическое мышление, умение обобщать, сопоставлять и применять полученные знания на практике;

· развивать познавательную деятельность обучающихся, развивать умение анализировать происходящие изменения в решении задач;

· развивать познавательный интерес, творческую активность, интеллект;

· развивать интуицию, эрудицию, самостоятельность в суждениях, упорство в достижении цели;

· формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний;

· стимулирование познавательного интереса обучающихся по данной теме и дисциплине Информатика и ИКТ в целом.

Задачи воспитательные:

· воспитание творческого подхода к работе, желания экспериментировать;

· профессиональная ориентация и подготовка к трудовой деятельности;

· воспитание информационной культуры, самостоятельности, ответственности;

· развивать культуру общения, воспитывать внимание, сообразительность, находчивость.

ХОД УРОКА

 

Теория

Определение вектора

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А (x₁; y₁), а концом - точка В (x₂; y₂), обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например . Координаты вектора вычисляются так:

Длина вектора

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB. Формула длины вектора:

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Нулевой вектор

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора  и  называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают:  (рис. 3).

рис. 3

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора  и  называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора  и  называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

Единичный вектор

Определение. Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

Скалярное произведение

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов  и  будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:       

 

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов  и  будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов  и .