Динамика гармонического колебания:

Уравнение гармонических колебаний в дифференциальной форме

 

ИЛИ

 

Решения этого уравнения:                                            

 

Квазиупругая сила – сила пропорциональная смещению и возвращающая тело в положение равновесия. (Пример: )

 

Пружинный маятник:

a. Горизонтальный (  – квазиупругая сила)

Второй закон Ньютона:

Отсюда  – уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника, циклическая частота  и период колебаний такого маятника .

 

b. Вертикальный (Квазиупругая сила – равнодействующая силы тяжести и силы упругости)

 

 

В положении равновесия из второго закона Ньютона:

Второй закон Ньютона при колебании:

Получили такое же уравнение, значит, вывод будет такой же как и в случае горизонтального пружинного маятника.

 

Математический маятник:

 

Основное уравнение динамики вращательного движения (  – сила натяжения нити):

Так как , то

Отсюда  – уравнение гармонических колебаний для математического маятника, циклическая частота  и период колебаний такого маятника .

 

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием  колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку , не совпадающей с ц. м. тела.

 

Получим уравнения

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом колебания физического маятника.

Тогда

 

 

Динамика гармонического колебания:

Уравнение гармонических колебаний в дифференциальной форме

 

ИЛИ

 

Решения этого уравнения:                                            

 

Квазиупругая сила – сила пропорциональная смещению и возвращающая тело в положение равновесия. (Пример: )

 

Линейный гармонический осциллятор – физическая система, совершающая колебания (ИЛИ это система, потенциальная энергия которой квадратично зависит от координаты).

 

Кинетическая и потенциальная энергия гармонического осциллятора

 

 

Закон сохранения энергии

 

 

Дополнительно:

3.4. Пружинный маятник:

a. Горизонтальный (  – квазиупругая сила)

Второй закон Ньютона:

Отсюда  – уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника, циклическая частота  и период колебаний такого маятника .

 

b. Вертикальный (Квазиупругая сила – равнодействующая силы тяжести и силы упругости)

 

 

В положении равновесия из второго закона Ньютона:

Второй закон Ньютона при колебании:

Получили такое же уравнение, значит, вывод будет такой же как и в случае горизонтального пружинного маятника.

 

Математический маятник:

 

Основное уравнение динамики вращательного движения (  – сила натяжения нити):

Так как , то

Отсюда  – уравнение гармонических колебаний для математического маятника, циклическая частота  и период колебаний такого маятника .

 

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием  колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку , не совпадающей с ц. м. тела.

 

Получим уравнения

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом колебания физического маятника.

Тогда

 

 

3.5. Волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде (жидкой, газообразной).

 

Основные характеристики волн:

 

Механизм образования поперечной волны: (в газах и жидкостях не возникают)

 

Механизм образования продольных волн:

Одна частица отдает импульс другим частицам, окружающим её

 

 

 

Волновое число:

 

 

Плоская волна — волна, поверхность постоянной фазы которой представляет собой плоскость. Фронт плоской волны неограничен по размерам, вектор фазовой скорости перпендикулярен фронту.

 

 

Сферическая волна — волна, фронт которой представляет собой сферу. Вектор фазовой скорости расходящейся сферической волны ориентирован в радиальном направлении от источника

Уравнение плоской бегущей волны:

 

 – расстояние от точки  до точки

 – амплитуда колебаний

 – волновое число, показывающее, чему равна разность фаз точек, находящихся на расстоянии 1 м

 – циклическая частота

 – смещение точки от положения равновесия

 

В общем случае:

 

Вывод уравнения: (для )

 

Волновое уравнение:

 

Вывод уравнения: (для случая )

 

Первая и вторая производные по :

 

Первая и вторая производные по :

Используя

 

Если , то

где  – оператор Лапласа и

 

 

3.6. Энергия волны

Для выведения формул понадобятся величины:

Вывод:

 

Окончательно получим

 

 

 

Поток энергии -

Объемная плотность энергии

 

 

Плотность потока энергии

 

Вектор плотности потока энергии (вектор Умова)

 

 

Вывод формулы

 

Интенсивность волн

(Главный вывод: интенсивность волн прямо пропорциональна квадрату амплитуды)

 

Спектральная плотность потока излучения представляет собой поток излучения, приходящийся на малый единичный интервал спектра.

Если переменной, определяющей положение точек спектра, является некоторая величина , то соответствующая ей спектральная плотность потока излучения обозначается как  и определяется как

 

Уравнение стоячей волны

Амплитуда стоячей волны

Найдем координаты узлов и пучностей:

В узлах , то есть

Для пучностей