Связь потенциальной энергии с консервативной силой

Формула работы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов

Вычислим работу элементарную работу , которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом  по перемещению заряда  из точки 1 в точку 2.

 

 

 

 

Работа на пути  равна:

Заметим, что

Тогда полная работа  при перемещении  из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

Из полученного выражения можно сделать вывод, что работа электростатических сил не зависит от формы пути, она зависит только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.

 

Потенциалом   данной точки электростатического поля называют физическую величину, равную отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полей к величине этого заряда. Это энергетическая характеристика поля в данной точке, которая не зависит от величины пробного заряда для данной точки. Единица измерения – В.

 

 

Потенциал электростатического поля точечного заряда

Потенциалом  в точке называют физическую величину, равную отношению работы  сил этого поля над пробным зарядом  при его перемещения из данной точки в точку, потенциал которой принят равным нулю (бесконечность), к этому заряду.

Или

 – постоянная

 – величина заряда, который создает поле (НЕ по модулю)

  – расстояние от заряда до исследуемой точки

 – диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха =1)

 

Физический смысл заключается не в потенциале, а в разности потенциалов. Для ЭС полей разность потенциалов совпадает с электрическим напряжением, взятым с обратным знаком

 

Свяжем напряженность ЭС поля с потенциалом

С одной стороны, работа по перемещению положительного заряда  из точки 1 в точку 2 равна

С другой стороны, .

Отсюда

 

 

Отсюда

В общем случае

 

 

В этом уравнении знак «-» показывает, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.

 

 

2.4. Электроёмкость C — характеристика проводника, способность проводника накапливать электрический заряд. Электроемкость зависит от размеров и формы проводника, но не зависит от материала. Единица измерения – Ф (Фарад).

Для плоского конденсатора

 – площадь поверхности пластинки конденсатора,

 – расстояние между пластинами.

 

Параллельное соединение  конденсаторов:

 

Последовательное соединение  конденсаторов:

 

Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор.

 – объем внутри конденсатора.

 

Вывод формулы:

Пусть изначально расстояние между пластинами конденсатора было . Внешняя сила  переместила одну из пластин на расстояние , так, что расстояние между пластинами стало равным .  – поверхностная плотность пластинок конденсатора.

 

Объемная плотность энергии – энергия единицы объема

 

 

2.5.

Условно принято направление от «+» к «-».

Условия существования тока:

· Наличие свободных носителей тока – зарядов

· Наличие электрического поля

· Замкнутость цепи

· Наличие разности потенциалов

 

Единица измерения Кл/с=А.

 

В общем случае

 

В случае постоянного тока (ток не изменяется по величине и направлению)

Плотность тока  – векторная физическая величина, количественно характеризующая ток, равная по модулю электрическому заряду , проходящему за единицу времени через единицу площади, ^ направлению движения зарядов. Направление  совпадает с направлением скорости положительных зарядов в проводнике. Единица измерения

 

 

Единица измерения Ом.

 

(  – функция, зависящая от материала проводника)

 

Сторонние силы – силы не электростатического происхождения, действующие на свободные заряды со стороны источника тока.

 

Электродвижущая сила (ЭДС) – физическая величина, характеризующая действие сторонних сил в источниках тока. Единица измерения В.

 

Закон Ома в интегральной форме:

Для полной цепи

 – внутреннее сопротивление источника тока

 – сопротивление внешней цепи

  – напряжение на концах проводника

 

Для участка цепи

 

Закон Ома в дифференциальной форме (справедлив и для переменных полей):

Вывод формулы

Отсюда выразим :

Используя свойства пропорции:

Используя  и :

 

Окончательно получаем закон Ома в дифференциальной форме:

 

Работа электрического тока:

 

Мощность электрического тока:

 

Закон Джоуля-Ленца:

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то

вся работа тока идет на его нагревание.

 

 

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

Вывод формулы:

 

Окончательно получаем

 

 

2.6. Магнитное поле – это особый вид материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрически заряженными частицами.

 

 

Магнитная индукция  – векторная физическая величина, силовая характеристика магнитное поле.  зависит от свойств окружающей среды. Характеризует МП, создаваемое макро- и микро токами. Вектор магнитной индукции всегда направлен по касательной к магнитной линии. Единица измерения Тл. Направление вектора  определяется по правилу буравчика (правого винта): направление вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока:

 

 

МП – вихревое поле, не имеющее источников.

 

 

 

Напряженностью  магнитного поля называют векторную величину, силовая характеристика МП, не зависящая от свойств окружающей среды. Характеризует МП макро-токов. Единица измерения А/м.

 – магнитная постоянная

 – магнитная проницаемость среды

Закон Био-Савара-Лапласа: Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов. Закон позволяет рассчитывать МП токов различных конфигураций

  – единичный радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция поля.

 

Применение для расчета магнитных полей проводников с током:

 

1) Магнитная индукция и напряженность МП в центре кругового тока

Тогда

 

 

2) Магнитная индукция и напряженность МП прямого проводника с током

 

 

Решая систему, получим

Тогда

 

3) Магнитная индукция и напряженность МП бесконечно длинного проводника с током

(См. пункт 2)

Для бесконечно длинного проводника с током  и :

Тогда

 

 

Закон Ампера: Сила, с которой МП действует на участок проводника с током ~ силе тока , длине этого  участка и синусу угла между направлениями тока и вектора .

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки (для положительного заряда):

Сила Лоренца –сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся со скоростью  положительный заряд. Направление определяется по правилу левой руки (для положительного заряда). Модуль силы Лоренца численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах скорости u и В и умноженной на q.

 

Вывод формулы (дополнительно):

2.7. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля: (Позволяет находить   без использования закона Био-Савара-Лапласа)

Циркуляция вектора напряженности МП по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов внутри этого контура.

ИЛИ

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов внутри этого контура, умноженной на .

 

 

 – количество проводников с токами, охватываемых контуром .

 

Доказательство теоремы:

1) Вычислим циркуляцию вектора напряженности МП по замкнутому контуру в виде окружности радиуса :

 

 

Отсюда делаем вывод, что циркуляция вектора напряженности МП по замкнутому контуру в виде окружности радиуса  не зависит от радиуса этой окружности, а определяется только силой тока, текущему по проводнику.

 

2) Деформируем этот контур

 

 

Следовательно, циркуляция вектора напряженности МП по замкнутому контуру не зависит от формы этого контура и, соответственно, не зависит от положения проводника внутри этого контура.

 

3) Докажем это и для случая  проводников:

 

 

 

Отсюда окончательно получаем

 

Из выражения  получим

 

2.8.

Теорема Гаусса для МП:

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую неподвижную замкнутую поверхность равен 0.

Для замкнутой поверхности

Важные выводы из теоремы:

 

Работа МП по перемещению проводника с током:

При

 

 

2.9. Явлением электромагнитной индукции называется явление возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводнике при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим проводником.

 

 

Закон ЭМ индукции (закон Фарадея):

При изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус. (В этой формуле знак «-» объясняет правило Ленца)

 

 

Правило Ленца:

Индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им МП препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

 

 

Дополнительно: .

Электромагнитная индукция в проводнике, движущемся в

Магнитном поле

По правилу левой руки сила Лоренца будет действовать в разные

стороны на положительные и отрицательные заряды (см. рис.). Из-за этого на одном конце проводника будет избыток электронов, а на другом – недостаток, что приведет к возникновению разности потенциалов. Перераспределение зарядов будет происходить до тех пор, пока электрическая сила  не скомпенсирует магнитную силу Лоренца.

Самоиндукция – явление возникновения  в замкнутом проводнике при изменении силы тока, текущему по этому проводнику.

 – индуктивность контура

 

 

 

Закон Фарадея запишется в следующем виде:

ЭДС самоиндукции

 

 

2.10. Максвелл создал свою теорию электромагнитного поля – теория близкодействия, согласно которой электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью, равной скорости света в данной среде.

 

Первое и второе положения теории электромагнитного поля Максвелла:

1) Всякое переменное МП порождает вихревое электрическое поле. (Вихревыми называются такие поля, у которых силовые линии замкнуты)

В основе первого уравнения Максвелла лежит закон Фарадея:

 

Свойства вихревого поля:

 

Первое уравнение Максвелла:

 

2) Всякое переменное электрическое поле порождает вихревое МП

 

Основная идея

Между электрическими и магнитными полями существует связь: всякое изменение электрического поля должно приводить к появлению вихревого МП. Так как магнитное поле есть обязательный признак всякого тока, Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц.

Согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Максвелл ввел понятие плотность тока смещения:

 

Закон полного тока

где

 – ток проводимости

 – полный ток

 

Так как

Подставляя это выражение в теорему о циркуляции вектора напряженности МП:

 

Второе уравнение Максвелла:

Циркуляция вектора напряженности МП по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна сумме токов смещения и тока проводимости, ограниченных этим контуров.

ИЛИ

Переменное во времени электрическое поле вызывает появление вихревого МП, так же как и токи, текущие по проводнику.  

 

 

Все уравнения Максвелла в интегральной форме:

I.

II.

III. (уравнение Остроградского-Гаусса для электростатического поля):

Поток вектора электрического смещения через произвольную неподвижную замкнутую поверхность равен сумме зарядов в объеме, ограниченном этой поверхностью.

IV. (теорема Гаусса для магнитного поля): Поток вектора магнитной индукции через произвольную неподвижную замкнутую поверхность равен нулю

V. Материальное уравнение:

 

VI. Материальное уравнение:

VII. Материальное уравнение (закон Ома в дифференциальной форме):

 

 

3. Колебания и волны

 

3.1. Смещение – отклонение тела от положения равновесия,  (м)

Амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия,  или  (м)

Фаза колебаний – угловая характеристика колебаний, позволяющая определить смещение в момент времени ,  (рад)

Начальная фаза колебаний – значение фазы колебаний в начальный момент времени ,  (рад)

Циклическая (круговая) частота – число колебаний за  единиц времени,  (рад/с)

Период колебаний – время, в течение которого происходит одно полное колебание,  (с)

Частота колебаний – количество колебаний в единицу времени,  (1/с=Гц)

 

Гармонические колебания – движение, при котором смещение тела происходит по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

 

Уравнение гармонических колебаний:

 

 

 

Уравнение гармонических колебаний в дифференциальной форме:

 

ИЛИ

 

Решения этого уравнения:

Дополнительно:

 

Сложение колебаний (с помощью метода векторных диаграмм):

Сложение колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

 

Сложение колебаний одинакового направления и разной частоты:

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты

(в общем случае, точка будет совершать периодические движения по эллиптической траектории):

 

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты:

Если , где  и  – целые числа (частоты кратны), то траектория движения – замкнутая фигура Лиссажу.

Если же частоты некратны, то и траектория не замкнута.

 

Примеры фигуры Лиссажу:

Закон сохранения энергии

 

 

Дополнительно:

3.4. Пружинный маятник:

a. Горизонтальный (  – квазиупругая сила)

Второй закон Ньютона:

Отсюда  – уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника, циклическая частота  и период колебаний такого маятника .

 

b. Вертикальный (Квазиупругая сила – равнодействующая силы тяжести и силы упругости)

 

 

В положении равновесия из второго закона Ньютона:

Второй закон Ньютона при колебании:

Получили такое же уравнение, значит, вывод будет такой же как и в случае горизонтального пружинного маятника.

 

Математический маятник:

 

Основное уравнение динамики вращательного движения (  – сила натяжения нити):

Так как , то

Отсюда  – уравнение гармонических колебаний для математического маятника, циклическая частота  и период колебаний такого маятника .

 

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием  колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку , не совпадающей с ц. м. тела.

 

Получим уравнения

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом колебания физического маятника.

Тогда

 

 

3.5. Волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде (жидкой, газообразной).

 

Основные характеристики волн:

 

Механизм образования поперечной волны: (в газах и жидкостях не возникают)

 

Механизм образования продольных волн:

Одна частица отдает импульс другим частицам, окружающим её

 

 

 

Волновое число:

 

 

Плоская волна — волна, поверхность постоянной фазы которой представляет собой плоскость. Фронт плоской волны неограничен по размерам, вектор фазовой скорости перпендикулярен фронту.

 

 

Сферическая волна — волна, фронт которой представляет собой сферу. Вектор фазовой скорости расходящейся сферической волны ориентирован в радиальном направлении от источника

Уравнение плоской бегущей волны:

 

 – расстояние от точки  до точки

 – амплитуда колебаний

 – волновое число, показывающее, чему равна разность фаз точек, находящихся на расстоянии 1 м

 – циклическая частота

 – смещение точки от положения равновесия

 

В общем случае:

 

Вывод уравнения: (для )

 

Волновое уравнение:

 

Вывод уравнения: (для случая )

 

Первая и вторая производные по :

 

Первая и вторая производные по :

Используя

 

Если , то

где  – оператор Лапласа и

 

 

3.6. Энергия волны

Для выведения формул понадобятся величины:

Вывод:

 

Окончательно получим

 

 

 

Поток энергии -

Объемная плотность энергии

 

 

Плотность потока энергии

 

Вектор плотности потока энергии (вектор Умова)

 

 

Вы