Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.

Следующий тип задач назовем тип Б) Задачи на сокращение остатка на одну долю от целого

Пример решения задачи типа Б:

Задача 4. [5]   15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

 - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

 - со 2-го числа пло14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

 - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банке 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение.

Краткая запись:

S =? рублей

r = 3%

k = 1+0,01*3 = 1,03

Сумма x за 12 месяцев = 466,5 тыс. рублей

n = 24 месяца       

С каждым месяцем долг будешь уменьшаться в , ….  , , 0

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	Sk - S= S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S =  S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S =  S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S= S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S
Sk	Sk - S = S(k-1)+ S	S

Составим уравнение, где сумма всех выплат будет равняться всем выплатам за год кредитования. Найдем сумму кредита.

S(k-1)*(1 + + + + + + + + + + + ) + S = 466 500

S(k-1)*  + S = 466 500 (заменим число k на 1,03)

S(1,03-1)*  + S = 466 500

S*(0,03*  + ) = 466 500

= 466 500

S =

S = 600 000 (рублей)

Ответ: 600 000 рублей

Запишем общую формулу для решения данной задачи.

-сумма выплат

Применим ее для решения следующей задачи.

Задача 5. [3]    15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

 - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

 Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

.

Подставим в формулу наши данные, получим

Сгруппируем ; ; ; ; ;

; ; .

Получим 9 пар по 1. Поэтому

.

                                                                                                                 Ответ: 3%

Задача 6. [4]   В июле планируется взять кредит на сумму 18 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма после выплат после его погашения составит 27 млн. рублей.

Решение. Снова обратимся к той же формуле

F-сумма выплаченная банку, P-переплата

Подставив в эту формулу найдем

Ответ: 9 лет.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 7. [5]   15-ого января Аркадий планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-ого числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число;

- выплата должно производиться один раз в месяц со 2-ого по 14-е число каждого месяца;

- 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0,8	0,6	0,5	0,4	0,3	0

Найдите наименьшее значение r, при котором Аркадию в общей сумме придется выплатить больше 1,5 млн рублей.

15

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
1 k	K-0,8	0,8
0,8k	0,8k – 0,6	0,6
0,6k	0,6k – 0,5	0,5
0,5k	0,5k – 0,4	0,4
0,4k	0,4k – 0,3	0,3
0,3k	0,3k - 0	0

Теперь составим неравенство, где сумма всех выплат будет строго больше 1,5 млн:

k – 0,8 + 0,8k - 0,6 + 0,6k – 0,5 + 0,5k – 0,4 + 0,4k – 0,3 + 0,3k – 0 > 1,5

3,6k – 2,6 > 1,5

3,6k > 4,1

3,6(1+0,01r) > 4,1

3,6 + 0,036r > 4,1

 0,036r > 0,5

r >

r>

r > 13,8(3) => r = 14

Ответ: 14%

Задача 8..[4]   В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

 - в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом

 - с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в танке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156 060 рублей больше суммы взятого кредита.

Краткая запись:

S =? рублей

r = 30%

k = 1, 3 =

x =? рублей (равные платежи)

n = 3 года

F = S+ 156 060 рублей

Сумма (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
Sk^2-kx	х	Sk^2-kx - x
Sk^3-k^2x - kx	x	Sk^3-k^2x - kx - x

 

Составим уравнением с последним остатком, чтобы определить размер суммы S:

Sk³-k²x - kx – x = 0

Sk³ = k²x + kx + x

Sk³ = х (k² + k +1)

Sk³ = x(()²+ + 1)

Sk³ = x (  + + )

Sk³ =

Sk³ * 100 = 399*х

S =

Определим размер выплаты:

3х = + 156 060      

6591х = 3990*х + 342 863 820

2601х = 342 863 820

х = 131 820

Возвращаясь к уравнению из пункта 1, найдем теперь размер суммы S:

S =

S =

S = 3990 * 60

S = 239 400 (рублей)