Статистические распределения.

Микроскопические параметры. Вероятность и флуктуации. Распределение Максвелла. Средняя кинетическая энергия частицы. Скорости теплового движения частиц. Распределение Больцмана. Функции распределения Бозе и Ферми. Теплоемкость многоатомных газов. Недостаточность классической теории теплоемкости.

Модель системы в термостате. Понятие о каноническом распределении Гиббса. Статистический смысл термодинамических потенциалов и температуры. Роль свободной энергии. Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц.

 

Элементы физической кинетики.

Релаксационные явления. Время релаксации различных процессов приближения к тепловому равновесию. Броуновское движение. Связь диффузии с броуновским движением. Понятие о принципе Онзагера, о перекрестных эффектах. Диффузия и теплопроводность. Коэффициент диффузии и теплопроводности. Время выравнивания. Диффузия в газах и в твердых телах. Вязкость. Коэффициент вязкости газов и жидкостей. Динамическая и кинетическая вязкости.

 

Фазовые равновесия и фазовые превращения.

Реальные газы. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Фазы и фазовые превращения. Условие равновесия фаз. Фазовые диаграммы. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса. Критическая точка. Метастабильные состояния. Тройная точка. Фазовые переходы второго рода. Особенности жидкого и твердого состояний вещества.

 

Порядок и беспорядок в природе.

Энтропия как количественная мера хаотичности. Переход от порядка к беспорядку в состоянии теплового равновесия. Ближний и дальний порядок. Координационный и ориентационный порядки. Жидкие кристаллы. Структурное упорядочение кристаллов. Понятие о магнитном порядке. Неупорядоченные макросистемы.

Открытые диссипативные системы. Появление самоорганизации в открытых системах и превращение флуктуаций в макроскопические эффекты. Понятие о бифуркациях. Идеи синергетики. Периодические химические реакции и биоритмы. Концептуальные уровни в познании веществ и химические системы. Химические процессы, самоорганизация и эволюция химических систем.

 

Вопросы для контроля знаний и выполнения учебной проектной работы

 

1. Укажите некоторые экспериментальные факты, подтверждающие положения молекулярно-кинетической теории.

2. Какие реальные процессы можно считать равновесными (примеры)?

3. Опишите законы идеальных газов для изопроцессов и дайте их графическую интерпретацию.

4. Сформулируйте закон Дальтона для смеси газов.

5. Приведите различные формы записи основного уравнения молекулярно-кинетической теории. В чем его основное содержание?

6. Сформулируйте закон классической статистической физики о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы.

7. Как определяется средняя энергия молекул газа известной температуры?

8. У какого из газов (кислород О₂, углекислый газ СО₂, азот N₂ и гелий Не) при одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул наибольшая?

9. Как определяется внутренняя энергия 1 моля идеального газа и любой массы этого газа?

10. Укажите процесс, в котором изменение внутренней энергии равно нулю.

11. Какая задача решается Максвеллом при определении скорости молекул, в виду полной беспорядочности движения огромного их числа?

12. Какие физические величины определяют вид функции распределения Максвелла? Каков физический смысл этой функции?

13. Что определяет вся площадь под кривой распределения Максвелла и отдельные участки этой площади?

14. Охарактеризуйте три скорости, определяющие усредненное движение всей совокупности молекул и сравните их: среднюю арифметическую < v >, среднюю квадратичную < v _кв> и наиболее вероятную < v _в> скорости. Покажите как определяются эти скорости с помощью функции распределения F (v).

15. Охарактеризуйте распределение Максвелла как равновесное распределение; при каких условиях оно выполняется? Какие квантовые статистики Вы знаете и какова их краткая характеристика?

16. В каких условиях находится газ, составляющий атмосферу Земли?

17. Как влияет изменение температуры и природы газа на закон изменения давления с высотой?

18. Как изменяется концентрация молекул с высотой? Как распределились бы молекулы по высоте при температуре абсолютного нуля (Т ® 0) и при очень больших температурах?

19. Определите, используя распределение Больцмана, долю частиц, которые в условиях теплового равновесия обладают определенной потенциальной энергией U (x, y, z). Как зависит распределение частиц по энергиям от температуры?

20. Дайте определение средней длины свободного пробега молекул < l > и среднего числа столкновений молекул < Z > в единицу времени. Как влияют эти величины на явления переноса?

21. Укажите известные Вам явления переноса. В чем их общность (условие, причины, результат)?

22. Охарактеризуйте явление внутреннего трения (вязкость).

23. Охарактеризуйте равновесный процесс; приведите примеры реальных процессов, близких к равновесным.

24. Дайте определение прямого и обратного кругового процесса (цикла), отобразите его на диаграмме состояния; охарактеризуйте использование круговых процессов в тепловых машинах (различных типов).

25. Какие виды теплообмена Вы знаете и каков механизм процессов теплообмена?

26. Каково условие равновесного состояния газа во внешнем поле силы тяжести?

27. Сформулируйте и запишите первый закон термодинамики. За счет чего совершается работа системой в случае, если совершаемая работа больше количества теплоты, получаемой системой?

28. Охарактеризуйте (с использованием простейшей схемы) работу тепловой машины на примере идеализированной паровой машины (рабочее вещество – вода и пар).

29. Дайте формулировку I начала термодинамики, связанную с работой тепловых двигателей.

30. Определите коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины.

31. Охарактеризуйте работу холодильной машины. Определите ее эффективность через холодильный коэффициент.

32. Дайте определение теплоемкости С. Что влияет на величину теплоемкости и в каких единицах она измеряется?

33. Дайте определение удельной и молярной теплоемкости однородных тел и установите соотношение между ними.

34. Определите молярные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянной давлении, а также их отношение, используя число степеней свободы молекулы.

35. Рассмотрите условия, при которых закон квантования энергии вращения и колебаний молекул переходит в классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы.

36. Как практически осуществляются адиабатические процессы? Получите уравнение адиабаты для параметров состояния газа Р (давление) и V (объем).

37. Обобщите и охарактеризуйте процессы изменения состояния газа как политропические процессы. Какое условие выполняется в ходе политропического процесса?

38. Как можно определить работу, совершаемую каким-либо телом над внешними телами в произвольном процессе и при адиабатическом переходе из состояния 1 в состояние 2?

39. Приведите необходимое и достаточное условие обратимости процесса. Почему все реальные процессы необратимы?

40. Изложите содержание II-го начала термодинамики в формулировке Кельвина-Планка.

41. Дайте общую характеристику цикла Карно. Из каких процессов состоит этот круговой процесс? Отобразите прямой цикл Карно на диаграмме P - V для идеального газа. Как определяется КПД цикла Карно?

42. Дайте определение приведенного количества теплоты Q *. Как определить Q * в изотермическом процессе (при нагревании и при охлаждении тела) и в произвольном процессе?

43. Сделайте вывод об изменении энтропии замкнутой системы при любом элементарном процессе изменения ее состояния.

44. Определите значение термодинамической вероятности Р и энтропии S для абсолютно упорядоченного движения.

45. Как можно трактовать понятие «энтропия», согласно известного соотношения Л. Больцмана S = k ln W, где k = const?

46. Охарактеризуйте модель газа Ван-дер-Ваальса – реального газа. Каков смысл поправок при выводе уравнения Ван-дер-Ваальса? Запишите уравнение Ван-дер-Ваальса для 1 моля газа.

47. Изобразите экспериментальные изотермы реальных газов (влажный пар) для различных температур. Охарактеризуйте критическое состояние вещества. Рассмотрите на примере одной из до критических изотерм, какие участки кривой соответствуют различным агрегатным состояниям вещества?

48. Выделите на рисунке с изотермами реальных газов для различных температур колоколообразную кривую, которая ограничивает область двухфазных состояний вещества. Какие области выделяет эта кривая и участки критической изотермы? Покажите пограничную кривую кипения и пограничную кривую конденсации. Каким фазовым переходам они соответствуют?

49. Чем отличается фазовый переход I рода от фазового перехода II рода?

50. Объясните положительный и отрицательный эффект Джоуля-Томсона (адиабатическое дросселирование); изобразите принципиальную схему опытов Д. Джоуля и В. Томсона.

 

Основные  формулы (Молекулярная физика и термодинамика)

 

1.  – число молей вещества, где N – число структурных элементов, составляющих систему; N _А – постоянная Авогадро.

2.  – молярная масса вещества, где m – масса системы.

3.  – молярная масса смеси газов, где m_i – масса i -го компонента смеси; n _i – количество вещества i -го компонента смеси; K – число компонентов смеси.

4.  – уравнение Клапейрона-Менделеева.

5. Р = Р ₁ + Р ₂ + … + Р_К – закон Дальтона, где Р – давление смеси газов; Р _i – парциальное давление i -го компонента смеси.

6.  – концентрация частиц однородной системы, где V – объем системы.

7.  – основное уравнение МКТ, где <e> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

8. Средняя кинетическая энергия:

 – приходящегося на все степени свободы i молекулы;

 – поступательного движения молекулы;

 – вращательного движения молекулы;

 – колебательного движения молекулы, где k – постоянная Больцмана.

9. Р = nkT – зависимость давления газа от концентрации n и температуры Т.

10. Скорость молекул:

 – средняя квадратичная;

 – средняя арифметическая;

 – наиболее вероятная, где m ₀ – масса одной молекулы.

11.  – распределение Больцмана, где n – концентрация частиц в точках поля, где потенциальная энергия их равна mgh; n ₀ – концентрация частиц, где mgh = 0.

12.  – барометрическая формула, где Р ₀ – давление газа на уровне, принятому за нулевой.

13.  – распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям).

14.  – распределение молекул по кинетическим энергиям поступательного движения.

15.  – среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени, где s - эффективный диаметр молекулы.

16.  – средняя длина свободного пробега молекул.

17.  – закон Ньютона, где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа;  – градиент скорости; D S – площадь элемента поверхности.

18.  – динамическая вязкость, где r - плотность газа (жидкости).

19.  – закон Фурье, где D Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время D t; c - коэффициент теплопроводности;  – градиент температуры.

20.  – коэффициент теплопроводности, где c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

21.  – закон Фика, где D m – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время D t; D – коэффициент диффузии;  – градиент концентрации молекул; m ₀ – масса одной молекулы.

22.  – коэффициент диффузии.

23. С _m = cM – связь между молярной С _m и удельной c теплоемкостями газа.

24.  – молярная теплоемкость при постоянном объеме.

25.  – молярная теплоемкость при постоянном давлении.

26. С_Р – С _V = R – уравнение Майера.

27.  – показатель адиабаты.

28. U = n C_VT =  – внутренняя энергия идеального газа.

29.  – работа, совершаемая газом при изменении его объема.

30. А = Р (V ₂ – V ₁) – работа газа при Р = const.

31.  – работа газа при Т = const.

32.  или  – работа при адиабатическом процессе.

33. PV ^g = const – уравнение Пуассона.

34.  – связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатическом процессе.

35. d Q = dU + d A – первое начало термодинамики.

36.  – первое начало термодинамики при изобарном процессе.

37.  – первое начало термодинамики при изотермическом процессе.

38.  – первое начало термодинамики при изохорном процессе.

39.  – первое начало термодинамики при адиабатическом процессе.

40.  или  к.п.д. цикла Карно.

41.  – изменение энтропии S системы.

42.  – формула Больцмана, где W – термодинамическая вероятность состояния системы; k – постоянная Больцмана.

43.  – уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа, где V_m – молярный объем; а и b – постоянные, рассчитанные на один моль газа; P – давление газа на стенки сосуда.

44.  – уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольного количества вещества n газа; V – объем занимаемый газом.

45.  – внутренняя энергия реального газа.

46. V_{m кр} = 3 b;  связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса.

 

Основные типы задач индивидуального задания №2 связаны со следующими теоретическими вопросами учебной программы:

– Молекулярно–кинетическая трактовка (МКТ) давления.

– Кинетическая энергия хаотического движения молекул. Скорости молекул.

– Основное уравнение МКТ.

– Закон распределения Максвелла по величине скорости молекул.

– Закон распределения Больцмана.

– Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам (использование дифференциальной формы записи первого начала термодинамики целесообразно только в тех случаях, когда с помощью этого закона и уравнения состояния нужно найти уравнения процесса или теплоемкость газа).

– Стандартные задачи на распределения Максвелла или Больцмана сводятся к определению средних физических величин и к нахождению числа частиц, обладающих некоторым свойством.

– Основная задача термодинамики равновесных процессов заключается в нахождении всех макросостояний системы. Если начальное и конечное состояния системы известны, то можно определить изменение ее внутренней энергии (при этом часто используют еще и уравнение Клапейрона-Менделеева)

– Если, кроме того, известны и промежуточные состояния системы (например, известен процесс), то можно найти работу, совершенную системой, рассчитать полученное или отданное системой количество теплоты.

– Задачи этого раздела зачастую имеют расчетный характер, поэтому важно проанализировать полученный численный ответ.

Примеры решения задач ИДЗ №2

 

Задача 1. Найдите число молекул водорода в 1 см³, если давление равно 200 мм.рт.ст., а средняя квадратичная скорость молекул при данных условиях 2400 м/с.

Решение

Дано: V = 1 м^3 Р = 200 мм.рт.ст. < v кв> = 2400 м/с k = 1,38×10^-^23 Дж/К R = 8,31 Дж/моль×К	СИ:   200×133 Па	Искомая величина может быть найдена из соотношения P = nkT Средняя квадратичная скорость равна
n =?

Отсюда температура  Окончательно получаем выражение для n

 1/м³.

 

Задача 2. Средняя квадратичная скорость молекулы углекислого газа при давлении Р = 10⁵ Па равна 628 м/с. Определите среднюю длину свободного пробега молекул <l>.

Решение

Дано: М = 44×10^-^3 кг/моль < v кв> = 628 м/с Р = 10^5 Па NA = 6,03×10^23 1/моль s = 4×10^-^10 м	Средняя длина свободного пробега молекул  где s - эффективный диаметр молекул; n – концентрация Средняя квадратичная скорость
< l > =?

Учтем, что  тогда

 м = 82,2 пм.

 

Задача 3. Найдите число атомов в молекуле газа, у которого при «замораживании» колебательных степеней свободы постоянная g увеличивается в 1,2 раза.

Решение

Дано: k = 1,2	Постоянная g определяется выражением  где число степеней свободы i = i пост + i вр + 2 i кол.
N =?

Число поступательных степеней свободы i _пост = 3, а число вращательных степеней свободы i _вр и число колебательных степеней свободы i _кол зависит от пространственного строения рассматриваемой молекулы. Если молекула имеет линейную структуру (все атомы в молекуле соединены в виде прямолинейной цепочки), то i _вр = 2; i _кол = 3 N – (i _пост + i _вр) = 3 N – 5.

Если же молекула имеет «объемную» структуру, то i _вр = 3; i _кол = 3 N – 6. Рассмотрим эти два случая.

До «замораживания» колебательных степеней свободы число i равно сумме 3 + 2 + 2(3 N – 5) = 6 N – 5, а после «замораживания» (при достаточно низких температурах газа) 3 + 2 = 5. По условию задачи «замораживание» колебательных степеней свободы приводит к возрастанию g в k = 1,2 раза, поэтому  Отсюда N = 17/6. Это число не является целым и, следовательно, рассматриваемая молекула не может иметь линейную структуру. В этом случае уравнение для определения числа атомов N в молекуле имеет вид  Отсюда N = 4.

Итак, число атомов в молекуле равно четырем; молекула имеет нелинейную структуру.

 

Задача 4. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найдите градиент температуры dT / dh.

 

 

Решение

Дано: g M R r = const	Изменение давления dP связано с изменением высоты dh соотношением dP = -r gdh, где r - плотность газа. Из уравнения состояния идеального газа давление равно  где М – молярная масса газа.
dT / dh =?

 откуда искомая величина равна

 

Задача 5. Найдите наиболее вероятную скорость молекул идеального газа.

Решение

Дано: m T k	Распределение молекул по абсолютным значениям скорости (распределение Максвелла) выражается формулой .
v в =?

Введем обозначение:  Тогда функция распределения молекул по абсолютным значениям скорости будет иметь вид:

Чтобы найти наиболее вероятную скорость, нужно взять производную этой функции по скорости и приравнять ее к нулю.

f ¢(v _в) = 0; это возможно при

 

Задача 6. Найдите наиболее вероятную энергию молекул идеального газа.

Решение

Дано: T k	Число молекул, энергии которых заключены в интервале от Е до Е + dE, равно
E в =?

Определим точку максимума функции распределения молекул идеального газа по энергиям:

Производная этой функции по Е равна

Искомую энергию Е _в найдем из условия f ¢(Е) = 0, то есть

 Отсюда следует

 

Задача 7. Водород находится при нормальных условиях и занимает объем 1 см³. Определите число D N молекул в этом объеме, обладающих скоростями, меньшими некоторого значения v _max = 1 м/с.

Решение

Дано: Р = Р 0» 10^5 Па Т = Т 0 = 273 К V = 10^-^6 м^3 v max = 1 м/с = 2×10^-^3 кг/моль R = 8,31 Дж/моль×К	Число молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до v + d v dN (v) = Nf (v) d v = N А ^3/2 v ^2 d v.        (1) Здесь N – общее число молекул; m 0 – масса одной молекулы; А = Рассматривая газ как идеальный, определим наиболее вероятную скорость молекул в данных условиях
D N =?

 м/с

 

 (v _max << v _в)                      (2)

Для решения задачи, удобно воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям . Согласно (1) и соотношению , число dN (u) молекул, относительные скорости u которых заключены в интервале от u до u + du, определяется формулой

.                             (3)

Из (2) .

Для таких значений u выражение (3) можно существенно упростить. Для u << 1 имеем   Пренебрегая значением u ²» 44.5×10^-8, по сравнению с единицей, запишем выражение (3) в виде

.

.     (4)

Общее число молекул: , (здесь m – масса газа).            (5)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

 имеем                        (6)

Подставив (6) в (5), получим

Задача 8. Пусть проводятся наблюдения за частицами, имеющими форму шарика и находящимися во взвешенном состоянии в воздухе, в поле земного тяготения. Радиус частиц r = 2×10^-7 м. Температура воздуха t = 0 °С, давление Р = 10⁵ Па. Установлено, что на высоте h = 10 м концентрация частиц уменьшается в 2 раза. Найдите массу m ₀ взвешенной частицы.

Решение

Дано: r = 2×10^-^7 м Т = 273 К Р = 10^5 Па h = 10 м n = n 0/2 К = 1,38×10^-^23 Дж/К g = 9,8 м/с^2 r0 = 1,29 кг/м^3	Частицы взвешены в воздухе, поэтому следует учесть выталкивающую силу . Обозначим массу частицы m. Сила, действующая на частицу, равна F = mg – F в = mg – r0 g где r0 – плотность воздуха у поверхности Земли; r - плотность частицы. В этом случае распределение Больцмана будет иметь вид:
m =?

где z – координата точки (высота) по отношению к уровню, принятому за нулевой (уровень Земли).

Плотность частицы равна  Отношение концентраций частиц на двух различных высотах по условию равно 2, тогда  откуда

m = 5,4×10^-21 кг.

 

Задача 9. Внутренняя энергия некоторой массы кислорода равна 3500 Дж. Определите суммарную кинетическую энергию W поступательного движения молекул газа.

Решение

Дано: U = 3500 Дж i = 5	Внутренняя энергия молекул идеального газа выражается следующим образом:                                          (1)
W =?

где i – число степеней свободы.

Суммарная кинетическая энергия поступательного движения для N молекул определяется как

                       (2)

где kN_A = R.

Из уравнения (1) находим  Тогда

 Дж.

 

Задача 10. Баллон емкостью V ₁ = 10 л с кислородом, имевшим температуру t ₁ = 7 ° С при давлении Р = 8 МПа, нагревается до t ₂ = 15.5 °С. Какое количество теплоты D Q при этом поглощает газ?

 

Решение

Дано: Р = 8×10^6 Па V 1 = 10×10^-^3 м^3 Т 1 = 280 К Т 2 = 288,5 К i = 5	По условию задачи давление Р = const, поэтому количество теплоты равно где СР – молярная теплоемкость кислорода
D Q =?

Применим к первоначальному состоянию уравнение Менделеева-Клапейрона:  откуда  Искомое количество теплоты равно

 Дж.

 

Задача 11. Некоторую массу m идеального газа с молярной массой М нагревают под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления от первоначального значения Т ₁ до Т ₂. Определите работу, совершенную газом.

Решение

Дано: m M Т 1 Т 2 Т ~ Р ^2	Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для произвольного состояния газа в ходе процесса: По условию задачи Т = a Р ^2, где a - коэффициент пропорциональности между температурой и квадратом давления.
А =?

т.е. в ходе процесса давление и объем связаны прямой пропорциональной зависимостью. При этом работа газа равна площади заштрихованной трапеции, т.е.

где Р ₁ и V ₁ – начальные, а Р ₂ и V ₂ – конечные давление и объем.

Так как прямая 1 – 2 проходит через начало координат, то

 или Р ₁ V ₂ = P ₂ V ₁.

Тогда

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для первого и второго состояний газа можно получить:

Итак, работа, совершенная газом, равна

 

Задача 12. На рисунке для n молей гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и изобары. На изобаре 3 – 1 над газом совершили работу А ¢_3–1 (А ¢_3–1 > 0) и его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 2 на диаграмме Р – V лежат на прямой, проходящей через начало координат. Определите температуру Т ₁ в точке 1. Найдите работу газа за цикл.

Решение

Дано: n молей А ¢3–1 > 0 Т 3 = 4 Т 1	Работа над газом при изобарном сжатии на участке 3 – 1 равна: А ¢3–1 = Р 3(V 3 – V 1) = n R (T 3 – T 1) = n R (4 T 1 – T 1) = 3n RT 1, отсюда
Т 1 =? А ц =?

Работа, совершенная газом по изобаре 3 – 1:

А _3–1 = - А ¢_3–1 = -3n RT ₁.

Работа газа за цикл А _ц = А _1–2 + А _2–3 + А _3–1.

На участке 1 – 2 работа численно равна площади трапеции, в которой этот участок является одной из боковых сторон:

По условию прямая 1 – 2 проходит через начало координат, поэтому справедливо соотношение  и тогда

Работа газа на участке 2 – 3 численно равна площади трапеции, у которой этот участок является одной из боковых сторон:

По условию Р ₂ V ₂ = P ₃ V ₃

Окончательно получаем для искомой величины:

 

Задача 13. Температуру газа, имеющую массу m и молярную массу М, повышают на величину D Т один раз при постоянном давлении Р, а другой раз при постоянном объеме V. Насколько отличаются сообщенные газу количества теплоты Q_P и Q_V и удельные теплоемкости c_P и c_V при постоянном давлении и постоянном объеме?

Решение

Дано: m М D Т	Количество теплоты Q, сообщаемое газу, идет на увеличение его внутренней энергии D U и на совершение газом работы: Q = D U + A                                                (1) При постоянном давлении работа расширения газа равна: А = Р (V 1 – V 2),                                         (2) где V 2 и V 1 – конечный и начальный объемы газа.
D Q =? D С =?

Запишем уравнения состояния газа до и после нагревания:

                                          (3)

                                          (4)

Вычитая из (4) уравнение (3), получаем

                       (5)

В результате

                                (6)

При постоянном объеме работа расширения газа А = 0. Первое начало термодинамики выглядит так:

Q_V = D U.                                         (7)

Вычитая из