Определение номера двутавровой балки.

Найдем опасное сечение, для этого построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 8, б–е):

участок АВ;

 = ∑  = –50∙ ∙ /2; (0) = 0;

(0,4) = –50 ∙ 0,4 ∙ 0,4/2 = –4кНм; (0,2) = –50 ∙ 0,2 2/2 = –1кНм. 

 = ∑  = –50 ∙ ; (0) = 0; (0,4) = –50 ∙ 0,4 = –20кН.

Участок ВС:

 = ∑  = –50 ∙ (0,4 + ) ∙ (0,4 + )/2 + 90 ∙ ;

(0) = –50 ∙ 0,4 ∙ 0,4/2 = –4 кНм;

(0,6) = –50 ∙ (0,4 + 0,6) ∙ (0,4 + 0,6)/2 + 90 ∙ 0,6 = 29 кНм;

(0,3) = –50 ∙ (0,4 + 0,3) ∙ (0,4 + 0,3)/2 + 90 ∙ 0,3 = 14,75 кНм.

 = ∑  = –50 ∙ (0,4 + ) + 90; (0) = –50 ∙ 0,4 + 90 = 70 кН;

(0,6) = –50 ∙ (0,4 + 0,6) + 90 = 40 кН.

Участок CD:

 = ∑  = –50 ∙ 1∙ (1/2 + ) + 90 ∙ (0,6 + ) + 14;

(0) = –50 ∙ 1 ∙ ½ + 90 ∙ 0,6 + 14 = 43 кНм;

(0,7) = –50 ∙ 1 ∙ (1/2 + 0,7) + 90 ∙ (0,6 + 0,7) + 14 = 71 кНм.

 = ∑  = –50 ∙ 1 + 90 = 40 кН.

Из эпюры изгибающих моментов находим . На основании условия прочности по нормальным напряжениям

,

вычисляем требуемый момент сопротивления

.

Из сортамента ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30 с . Проверяем принятый двутавр по нормальным и касательным напряжениям:

Из сортамента для двутавра № 30 выписываем геометрические характеристики сечения:  = 7080 ;  = 472 ; .

Наибольшее касательное напряжение вычислим по формуле Журавского

,

где Q – поперечная сила;  – момент инерции поперечного сечения относительно оси х;  – ширина сечения балки на координате у;  – статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно оси х, , где  – площадь отсеченной части поперечного сечения;  – расстояние от центра тяжести отсеченной части поперечного сечения до оси х;

 =  =  = 4,076 кН/ .

Таким образом, прочность балки по нормальным и касательным напряжениям выполняется.

2. Построение эпюр распределения напряжений  (рис. 9).
Проверка прочности по главным напряжениям.

Точка 1:

 =  = 150,42 Мпа; = 0, так как  = 0.

Точка 2:

 

 

Рис. 9. Эпюры напряжений в опасном сечении: а – схема поперечного сечения; б – эпюра нормальных напряжений; в – эпюра касательных напряжений

 

Так как в точке 2 происходит резкое изменение ширины поперечного сечения, вычисляем два значения касательных напряжений. Чуть выше точки 2 ширина поперечного сечения равна , чуть ниже – .

Н, .

=  = 0,146кН/ ,

=  = 3,035кН/ .

Точка 3:

 = 0 Мпа;  = .

 

Проверка прочности по главным напряжениям делается только для балок, поперечные сечения которых имеют тонкую стенку, резко изменяющуюся вблизи крайних волокон. Проверку прочности производят в точках перехода от малой ширины к большой и пользуются формулой

 = + ∙ [ .

Наиболее опасной точкой является точка 2.

 =  +  ∙  = 146,48 МПа  [ .

Таким образом, прочность балки по главным напряжениям выполняется.

3. Определение перемещений ,  при модуле упругости
Е = 2∙  Мпа = 2∙ .

Для определения прогиба и угла поворота сечения в сечении «K» балки воспользуемся формулой Мора. Для балок и рам формула Мора имеет вид

где  – перемещение по i -му направлению, вызванное внешней нагрузкой;  – изгибающий момент от единичной силы (единичного момента) во вспомогательном состоянии;  – изгибающий момент от внешней нагрузки (в грузовом состоянии);  – жесткость стержня при изгибе.

Техника вычисления перемещений по способу Мора следующая.

1. Находим по расчётным участкам выражения изгибающих моментов от заданной нагрузки M_P и строим эпюру M_P грузового состояния.

2. Назначаем вспомогательное состояние, в котором по направлению искомого i -го линейного перемещения (прогиба) прикладываем единичную вертикальную силу р = 1, а при определении углового перемещения – сосредоточенный единичный момент m = 1.

3. От единичного воздействия определяем по участкам изгибающие моменты  – строим эпюру  вспомогательного состояния.

4. Найденные выражения  и  подставляем в формулу Мора и интегрируем по участкам в пределах всего сооружения (балки или рамы).

Интегрирование по участкам балки или рамы выполняем с помощью специальных приёмов, называемых перемножением эпюр.

Формула Верещагина [1, 2]

 

Рис. 10. К перемножению эпюр по формуле Верещагина

 

,

где  – площадь грузовой эпюры M_p на участке длиной L грузовой эпюры M_p; Y_o – ордината эпюры , расположенная над центром тяжести грузовой эпюры M_p.

Формула трапеций [1, 2]

 

Рис. 11. К перемножению эпюр по формуле трапеций

 

.

Формула Симпсона [1, 2]

 

Рис. 12. К перемножению эпюр по формуле Симпсона

 

.

Перемножение прямолинейных эпюр можно производить по любой из названных формул, перемножение прямолинейной эпюры с криволинейной – только по формулам Симпсона или Верещагина.

Грузовое и вспомогательные состояния, а также их эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 8, а, д–з.

Прогиб балки в сечении «к»

 = ∑ dz = –  ∙ (0,4 ∙ 4 + 4 ∙ 0,2 ∙ 1) +

+  ∙ (–0,4 ∙ 4 + 1 ∙ 29 + 4 ∙ 0,7 ∙ 14,75) +

+  ∙ (2 ∙ 1 ∙ 43 + 2 ∙ 1,7 ∙ 71 + 1,7 ∙ 43 + 1 ∙ 71) =

=  +  +  =  =

 0,436 см.

(перемещение со знаком (+), значит, точка К перемещается по направлению силы F = 1, то есть вверх).

Угол поворота сечения «к»

 = ∑   dz = –  ∙ (1 ∙ 4 + 4 ∙ 1 ∙ 1) +

+  ∙ (1 ∙ 29 – 1 ∙ 4 + 4 ∙ 1 ∙ 14,75) +

+  ∙ (2 ∙ 1 ∙ 43 + 2  71 + 1 ∙ 43 + 1 ∙ 71) =

= –  +  +  =  =  = 0,0337 рад.

(перемещение со знаком (+), значит, точка К поворачивается по направлению момента m = 1, то есть по часовой стрелке).

 

 

 

Приложение