Составьте отчет по выполненной работе.

 

Лабораторная работа №5.

Дискретные распределения вероятностей

Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений (не бесконечное!). Дискретным значением является, например, количество выпавших очков при бросании игральной кости. У обычной шестигранной кости дискретные значения могут быть только элементом множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Для правильной кости вероятность выпадения конкретного значения равняется 1/6.

 

Геометрическое распределение

 

Геометрическое распределение можно представить следующим образом. Например, будем бросать кубик до тех пор, пока не выпадет 1. Посчитаем, с какой вероятностью это случится ровно за N бросков.

Для первого броска (N = 1) вероятность успеха равна

 

 

Для второго (N = 2) это вероятность успеха возникает в том случае, если при первом броске была неудача, а во втором бросок оказался удачным:

 

 

Аналогично, для третьего броска:

 

 

 

Вообще, для n -го броска: 

 

 

Если обозначить p – вероятность успеха в единичном испытании, то закон распределения:

 

Распределение, соответствующее данному закону, называется геометрическим.

Математическое ожидание геометрического распределения:

 

 

Дисперсия:                       

 

Задание.

Рассчитайте вероятность того, что при бросании 3-х костей выпадут три шестерки.

2.Если на бросок костей тратится три секунды, рассчитайте время для почти 100% вероятности наступления этого события.

 

Биномиальное распределение

 

Биномиальное распределение вероятности описывает процессы, в которых событие A наступает k раз за N испытаний

 

 

где

p – вероятность наступления события A в единичном испытании,

Число перестановок:

 

 

 

Математическое ожидание распределения:

 

Дисперсия:

Расчет вероятности наступления k событий из N испытаний в MatLab будет:

 

p=(factorial(N)/(factorial(k)*factorial(N-k))*p^k*(1-p)^(N-k))

Задание.

Определите вероятность того, что за десять случаев бросания кости выпадет 2 шестерки.

Если вероятность наступления события A мала, а количество испытаний достаточно большое, то Биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.

 

Распределение Пуассона

 

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона имеет следующую плотность вероятности

 

 

Величина p_k (λ) соответствует вероятности ровно k удачных исходов при условии, что среднее число удачных исходов составляет λ.

 

Формула для подсчета в MatLab:

 

p=L^k*2.718^(-L)/factorial(k)

 

Этим распределением проще пользоваться, чем биномиальным.

Математическое ожидание

M=λ

 

Дисперсия

D=λ

Распределение Пуассона имеет ключевую роль в Теории систем массового обслуживания (СМО). Оно используется и в теории страхования.

Сгенерируем 100 значений, распределенных по закону Пуассона с λ=2:

 

lambda =2

p=poissrnd(lambda,[1 100]);

 

Построим гистограмму распределения в 9 интервалов:

hist(p, 9)

 

Очевидно, что оценка λ, рассчитанная по сгенерированным данным, будет отличаться от теоретической величины.

Расчет точечной и интервальной оценки параметра λ для вектора выборки наблюдений p.

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

 

[lambdahat, lambdaci] = poissfit(p)

 

Помним, что теоретическое значение составляет 2.

Задание.

Рассчитайте время заполнения контейнера при условии: