Методические указания к выполнению. Работы по системам счисления

Работы по системам счисления

Системы счисления и арифметические операции в них

Совокупность приемов обозначения (записи) чисел называется системой счисления. Известны позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления числовое значение символа не зависит от его местоположения в числе. Примером может служить римская.

В позиционных системах счисления каждая цифра или символ имеет свое определенное значение в зависимости от положения в числе и величина числа зависит не только от набора цифр, но и от того в какой последовательности записаны цифры.

Основание системы счисления – количество цифр, используемых для представления чисел в позиционной системе счисления.

Система счисления, использующая для своего образования 16 цифр: 0-9, A, B, C, D, E, F, называется шестнадцатеричной; использующая для своего образования 10 цифр от 0 до 9, называется десятичной системой счисления; использующая для своего образования 8 цифр (от 0 до 7) - восьмеричной; система счисления, в которой используются всего две цифры (0 и 1), называется двоичной системой счисления.

Для представления восьмеричных чисел достаточно трех двоичных разрядов. Такое описание называется триадным (запись по триадам). Для описания шестнадцатеричных чисел необходимо 4 двоичных разряда. Такая запись называется тетрадной (запись по тетрадам). Указанные записи используются при переводе чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и восьмеричную систему счисления и обратно. В целой части числа группировка производится справа налево, в дробной части — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблице 1.

Таблица 1

10 с/сч	16 с/сч	8 с/сч	2 с/сч
			обычная запись	по триадам	по тетрадам
0	0	0	0	000	0000
1	1	1	1	001	0001
2	2	2	10	010	0010
3	3	3	11	011	0011
4	4	4	100	100	0100
5	5	5	101	101	0101
6	6	6	110	110	0110
7	7	7	111	111	0111
8	8	10	1000	001 000	1000
9	9	11	1001	001 001	1001
10	A	12	1010	001 010	1010
11	B	13	1011	001 011	1011
12	C	14	1100	001 100	1100
13	D	15	1101	001 101	1101
14	E	16	1110	001 110	1110
15	F	17	1111	001 111	1111

Например:

Например,

При переводе целого числа, представленного в десятичной системе счисления в шестнадцатеричную, восьмеричную или двоичную систему счисления, необходимо заданное число последовательно делить на основание 16, 8 или 2. Полученный от деления остаток будет младшим разрядом искомого 16, 8 или двоичного числа. Целая часть частного снова делится на 16, 8 или 2 и остаток будет следующим по старшинству разрядом и т.д. до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания (16, 8 или 2). Число читается снизу вверх. Такой способ перевода чисел называется правилом последовательного деления.

Пример 1: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Для дробных чисел правило последовательного деления заменяется правилом последовательного умножения. Переводят отдельно целую и дробную части, затем второй результат приписывают к первому после запятой. При переводе дробной части числа из 10 системы счислении ее умножают на основание той системы, в которую переводят, выделяя при этом целые, образующие вначале старший, а затем младшие разряды искомого числа. Перевод осуществлен, когда во всех разрядах дробной части появятся нули или будет достигнута необходимая точность. Число читается сверху вниз.

Пример 2. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

а) 464(10);   б) 380,1875(10); в) 115,94(10)

а) 464	0		б) 380	0		1875		в) 115	1		94
232	0		190	0	0	375		57	1	1	88
116	0		95	1	0	75		28	0	1	76
58	0		47	1	1	5		14	0	1	52
29	1		23	1	1	0		7	1	1	04
14	0		11	1				3	1	0	08
7	1		5	1				1	1	0	16
3	1		2	0
1	1		1	1

а) 464₍₁₀₎=111010000₍₂₎; б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎; в) 115,94₍₁₀₎» 1110011,11110₍₂₎

(в данном случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен.)

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Пример 3. Перевести данное число в десятичную систему счисления:

а) 1000001(2).

1000001₍₂₎ = 1 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 64 + 1 = 65₍₁₀₎.

Замечание. Если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101₍₂₎ = 1 × 2⁹ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^–2 + 1 × 2^–4 =

= 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125₍₁₀₎.

в) 1216,04(8).

1216,04₍₈₎ = 1 × 8³ + 2 × 8² + 1 × 8¹ + 6 × 8⁰ + 4 × 8^–2 = 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = 654,0625₍₁₀₎.

г) 29A,5(16).

29A,5₍₁₆₎ = 2 × 16² + 9 × 16¹ + 10 × 16⁰ + 5 × 16^–1 = 512 + 144 + 10 + 0,3125 = 656,3125₍₁₀₎.

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы:

а) двоичная система счисления

+	0	1		0-0=0	1-1=0
0	0	1		1-0=1	10-1=1
1	1	10

 

б) восьмеричная система счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

 

в) шестнадцатеричная система счисления

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

 

Сложение