Уравнения с численными значениями параметров

Задание 1. Расчет электрической цепи постоянного тока

 

Содержание задания

 

1. Составить и решить систему уравнений Кирхгофа.

2. Составить баланс мощностей.

3. Определить входную и передаточные проводимости одной из ветвей.

4. Определить ток в одной из ветвей методом эквивалентного генератора.

 

Выбор исходных данных

 

Исходные данные определяются по номеру варианта, который задается двумя последними цифрами номера зачетной книжки.

Обобщенная схема электрической цепи показана на рис. 14.1. Она состоит из шести обобщенных ветвей, одна из которых ( -я) показана для примера на рис. 14.2,а. В конкретном варианте задания из 18 элементов обобщенной схемы остается только 8 элементов (две ЭДС, один идеальный источник тока и 5 резисторов).

 

Рис. 14.1. Обобщенная схема электрической цепи постоянного тока

 

Обобщенная ветвь с исключенным источником тока показана на рис. 14.2,б, ветвь с исключенным источником ЭДС на рис. 14.2,в, ветвь с исключенными источниками на рис. 14.2,г и ветвь с исключенным источником тока и резистором на рис. 14.2,д.

 

a)

б)

в)

г)

д)

Рис. 14.2. Обобщенная ветвь и ее частные случаи

 

С помощью табл. 1 по номеру варианта нужно определить, в каких ветвях и какие именно источники нужно оставить в цепи. Например, в варианте 47 ЭДС содержатся в первой и третьей ветвях, а источник тока в четвертой ветви. В вариантах от 91 до 100 источник тока содержится в первой ветви, но направление его тока противоположно направлению тока источника , указанному на рис. 14.1. Во всех остальных ветвях источники электрической энергии нужно исключить, в них остаются одни резисторы.

 

Таблица 1

Номера ветвей, содержащих источники ЭДС и источник тока

(по вариантам)

J          e	1	2	3	4	5	6	-1
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3,6 4,5 4,6 5,6	01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15	16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45	46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75	76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90	91 92 93 94 95 96 97 98 99 00

Значения ЭДС определяются по номеру варианта следующим образом. Величина ЭДС с меньшим индексом задается первой цифрой, а величина ЭДС с большим индексом – второй цифрой номера варианта. Например, в варианте 47 4 В, 7 В. Если в номере варианта имеется нуль, то соответствующее значение ЭДС равно 10 В, например, в варианте 50 5 В, 10 В. В варианте 100 обе ЭДС равны 10 В. Ток идеального источника тока равен номеру ветви, в которой он находится, например, 4 А.

Сопротивления резисторов определяются по формуле , где  - номер ветви, в которой находится резистор;  - последняя цифра в порядковом номере текущего года (от 0 до 9). В ветви, в которой находится ЭДС с большим индексом, сопротивление резистора нужно приравнять нулю, например, в варианте 47 .

Требуется определить входную и передаточную проводимости ветви, содержащей ЭДС с меньшим индексом, и ток в этой ветви методом эквивалентного генератора.

 

 

Образец для оформления задания

 

Исходные данные

 

Схема электрической цепи показана на рис. 14.3. Параметры цепи 8 В, 2 В, 1 А, 1 Ом,  Ом, , 4 Ом, 5 Ом, 6 Ом.

Рис. 14.3. Схема электрической цепи

 

 

Расчет токов

 

В цепи шесть неизвестных токов, их направления показаны на рис. 14.3. В цепи четыре узла, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения. Три недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа.

Система уравнений Кирхгофа

, , ,

, , .

 

Баланс мощностей

 

Напряжение на источнике тока определим по второму закону Кирхгофа:

,  В.

Мощность источника тока

 Вт.

Мощность источников ЭДС

 Вт,

 Вт.

Мощность источников

 Вт.

Мощность, потребляемая резисторами,

 Вт.

Баланс мощностей выполняется

 Вт= .

 

Генератора

 

1. Расчет ЭДС эквивалентного генератора

Схема опыта холостого хода активного двухполюсника (имеющего зажимы  и  и сопротивление нагрузки  на рис. 14.3) показана на рис. 14.5. Направление напряжения холостого хода  на рис. 14.5 совпадает с направлением тока  на рис. 14.3.

Рис. 14.5. Схема опыта холостого хода ()

 

После эквивалентной замены источника тока  с внутренней проводимостью  источником напряжения с ЭДС  В и внутренним сопротивлением  число неизвестных токов уменьшается с четырех до трех (рис. 14.6).

Рис. 14.6. Эквивалентная схема опыта холостого хода ()

 

Система уравнений Кирхгофа (по рис. 14.6)

,

,

.

Уравнения с численными значениями параметров

,

,

.

Искомые токи  А,  А,  А.

Проверка:

,

,

.

По второму закону Кирхгофа для контура А (рис. 14.6) определим напряжение холостого хода

 В.

ЭДС эквивалентного генератора

 В.

2. Расчет сопротивления эквивалентного генератора

Сопротивление пассивного двухполюсника, соответствующего активному двухполюснику с зажимами  и  (рис. 14.5), равно сопротивлению пассивного двухполюсника с зажимами  и  на рис. 14.4. Согласно формуле (14.1) сопротивление эквивалентного генератора равно

 Ом.

3. Расчет тока в нагрузке эквивалентного генератора

Рис. 14.7. Эквивалентный генератор с нагрузкой (ЭДС  направлена от  к  противоположно напряжению , направленному ранее от  к )

 

По второму закону Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 14.7, находим

 А.

В пределах точности вычислений результат совпадает со значением тока , полученным путем решения системы уравнений Кирхгофа.

 

Методическое замечание

Если вычисления выполняются на ПЭВМ, то расчеты можно выполнять в том порядке, как это сделано в образце оформления задания. При этом эквивалентное преобразование источника тока в источник напряжения в п. 5 образца можно не делать, так как уменьшение числа уравнений в системе с четырех до трех не имеет значения.

Если вычисления выполняются на калькуляторе, то целесообразно сначала рассчитать входную и передаточные проводимости указанной в задании ветви, затем найти ток в этой ветви методом эквивалентного генератора. После этого можно определить токи в остальных ветвях по законам Кирхгофа, не решая системы уравнений Кирхгофа. Например, в цепи, показанной на рис. 14.3, зная ток , можно по второму закону Кирхгофа найти ток , потом по первому закону Кирхгофа ток  и т.д. Определив все токи, можно приступать к оформлению задания в соответствии с образцом.

 

 

15. Задание 2. Расчет электрической цепи переменного синусоидального тока

 

Содержание задания

 

1. Составить и решить систему уравнений Кирхгофа для комплексных токов.

2. Составить баланс комплексных мощностей.

3. Построить векторно - топографическую диаграмму токов.

4. Построить векторно - топографическую диаграмму напряжений.

5. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

6. Определить ток в одной из ветвей методом эквивалентного генератора.

 

Выбор исходных данных

 

Исходные данные определяются по номеру варианта, который задается двумя последними цифрами номера зачетной книжки.

Направленный граф электрической цепи показан на рис. 15.1. Каждой ветви графа соответствует обобщенная ветвь цепи (рис. 15.2,а), направление ветви графа задает направления ЭДС и тока идеального источника тока. В конкретном варианте задания из 30 элементов обобщенной схемы остается только 12 (две ЭДС, один идеальный источник тока, четыре резистора и пять реактивных элементов). Некоторые частные случаи обобщенной ветви показаны на рис. 15.2,б, в, г и д.

Рис. 15.1. Направленный граф электрической цепи

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 15.2. Обобщенная ветвь и ее частные случаи

 

С помощью табл. 2 по номеру варианта нужно определить, в каких ветвях и какие именно источники нужно включить в цепь. Например, в варианте 53 ЭДС содержатся в первой и четвертой ветвях, а источник тока в шестой ветви. В вариантах от 60 до 100 номер ветви, содержащей источник тока, указан с минусом; это значит, что направления тока этого источника тока противоположно направлению, указанному в соответствующей ветви графа на рис. 15.1.

 

Таблица 2

Номера ветвей, содержащих источники ЭДС и источник тока

J

(по вариантам)

e	1	2	3	4	5	6	-1	-2	-3	-4
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3,6 4,5 4,6 5,6	- - - - - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	- 11 12 13 14 - - - - 15 16 17 18 19 20	21 - 22 23 24 - 25 26 27 - - - 28 29 30	31 32 - 33 34 35 - 36 37 - 38 39 - - 40	41 42 43 - 44 45 46 - 47 48 - 49 - 50 -	51 52 53 54 - 55 56 57 - 58 59 - 60 - -	- - - - - 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70	- 71 72 73 74 - - - - 75 76 77 78 79 80	81 - 82 83 84 - 85 86 87 - - - 88 89 90	91 92 - 93 94 95 - 96 97 - 98 99 - - 00

 

Амплитуды и начальные фазы ЭДС определяются по номеру варианта следующим образом. Номер варианта задает число десятков в значении амплитуды ЭДС с меньшим индексом; номер варианта, прочитанный справа налево, задает число десятков в значении амплитуды ЭДС с большим индексом. Например, в варианте 53  В,  В; в варианте 50  В,  В; в варианте 100  В. Начальная фаза ЭДС с меньшим индексом равна номеру варианта, начальная фаза ЭДС с большим индексом равна номеру варианта, прочитанному справа налево. Например, в варианте 53 , , в варианте 50 , , в варианте 100 . Действующее значение тока источника тока равно номеру ветви, в которой он находится, начальная фаза этого тока во всех вариантах равна нулю.

Частота всех источников равна 50 Гц.

Пассивные элементы размещаются в цепи следующим образом. В ветви, содержащей ЭДС с меньшим индексом, имеется резистор, а в ветви, содержащей ЭДС с большим индексом, - резистор и идеальная катушка. В ветви с идеальным источником тока других элементов нет. В пассивных ветвях в порядке следования их номеров содержатся в одной конденсатор, в другой резистор и идеальная катушка, в третьей резистор, идеальная катушка и конденсатор. Например, в варианте 53 имеются следующие элементы: , ,  и ,  и , ,  и .

в Сопротивления резисторов определяются по формуле  в омах, где  - номер ветви, в которой находится резистор;  - последняя цифра в порядковом номере текущего года. Индуктивность катушек определяются по формуле  в миллигенри, емкости конденсаторов по формуле  микрофарадах.

В ветви, содержащей ЭДС с большим индексом, нужно определить комплексный ток и соответствующий синусоидальный ток методом эквивалентного генератора.

 

 

Образец для оформления задания

 

Исходные данные

Схема электрической цепи показана на рис. 15.3.

 

Рис. 15.3. Схема электрической цепи

Параметры цепи  В, ,  В, ,  А, ,  Гц, =1 Ом, =200 мкФ, =3 Ом, =

=30 мГн, =4 Ом, =40 мГн, =5 Ом, =50 мГн, =500 мкФ.

 

 

Расчет комплексных токов

 

Комплексная схема замещения цепи показана на рис. 15.4. В цепи пять неизвестных токов и четыре узла; по первому закону Кирхгофа составим три уравнения, по второму закону Кирхгофа два уравнения для контуров, не содержащих источника тока.

Рис. 15.4. Комплексная схема замещения

 

Комплексные ЭДС

 В,

 В.

Комплексный ток источника тока  А.

Сопротивления реактивных элементов 1/с,

 Ом,

 Ом,

 Ом,

 Ом,

 Ом.

Комплексные сопротивления ветвей

 Ом,

 Ом,

 Ом,

 Ом,

 Ом.

Система уравнений Кирхгофа

,

,

,

,

.

Уравнения с численными значениями параметров

,

,

,

,

.

Искомые комплексные токи

 А,

 А,

 А,

 А,

 А.

Проверка уравнений первого закона Кирхгофа:

,

,

,

Напряжения на комплексных сопротивлениях

 В,

 В,

 В,

 В,

 В.

Проверка уравнений второго закона Кирхгофа:

,

.

Напряжение на источнике тока

 В.

 

 

Генератора

 

1. Расчет ЭДС эквивалентного генератора

Схема опыта холостого хода активного двухполюсника (имеющего зажимы  и  и сопротивление нагрузки  на рис. 15.4) показана на рис. 15.9. Направление напряжения холостого хода  на рис. 15.9 совпадает с направлением тока  на рис. 15.4.

Система уравнений Кирхгофа (по рис. 15.9)

,

.

Из нее находим, что

 А.

Напряжение холостого хода находим по второму закону Кирхгофа для контура, охватывающего всю цепь,

 В.

ЭДС эквивалентного генератора

 В.

 

Рис. 15.9. Схема опыта холостого хода

 

2. Расчет сопротивления эквивалентного генератора

Пассивный двухполюсник, соответствующий активному двухполюснику, изображенному на рис. 15.9, показан на рис. 15.10.

Рис. 15.10. Схема пассивного двухполюсника

 

Комплексное сопротивление эквивалентного генератора равно входному комплексному сопротивлению пассивного двухполюсника

 Ом.

 

3. Расчет тока в нагрузке эквивалентного генератора

По второму закону Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 15.11, находим

 А.

Результат совпадает с результатом, полученным при решении системы уравнений Кирхгофа, в пределах точности вычислений.

 

Рис. 15.11. Эквивалентный генератор с сопротивлением  в качестве нагрузки

 

Мгновенный ток в первой ветви

 А.

 

 

Методическое замечание

Расчеты целесообразно выполнить в том порядке, как это сделано в образце, если есть возможность использовать ПЭВМ. Если вычисления выполняются на калькуляторе, то лучше сначала определить ток в одной из ветвей методом эквивалентного генератора, а затем найти остальные токи по законам Кирхгофа. Например, в цепи, показанной на рис. 15.4, определив ток , можно найти ток  по первому закону Кирхгофа, затем ток  с помощью второго закона Кирхгофа и т.д. После того как найдены все токи, можно приступить к оформлению задания по образцу.

Задание 1. Расчет электрической цепи постоянного тока

 

Содержание задания

 

1. Составить и решить систему уравнений Кирхгофа.

2. Составить баланс мощностей.

3. Определить входную и передаточные проводимости одной из ветвей.

4. Определить ток в одной из ветвей методом эквивалентного генератора.

 

Выбор исходных данных

 

Исходные данные определяются по номеру варианта, который задается двумя последними цифрами номера зачетной книжки.

Обобщенная схема электрической цепи показана на рис. 14.1. Она состоит из шести обобщенных ветвей, одна из которых ( -я) показана для примера на рис. 14.2,а. В конкретном варианте задания из 18 элементов обобщенной схемы остается только 8 элементов (две ЭДС, один идеальный источник тока и 5 резисторов).

 

Рис. 14.1. Обобщенная схема электрической цепи постоянного тока

 

Обобщенная ветвь с исключенным источником тока показана на рис. 14.2,б, ветвь с исключенным источником ЭДС на рис. 14.2,в, ветвь с исключенными источниками на рис. 14.2,г и ветвь с исключенным источником тока и резистором на рис. 14.2,д.

 

a)

б)

в)

г)

д)

Рис. 14.2. Обобщенная ветвь и ее частные случаи

 

С помощью табл. 1 по номеру варианта нужно определить, в каких ветвях и какие именно источники нужно оставить в цепи. Например, в варианте 47 ЭДС содержатся в первой и третьей ветвях, а источник тока в четвертой ветви. В вариантах от 91 до 100 источник тока содержится в первой ветви, но направление его тока противоположно направлению тока источника , указанному на рис. 14.1. Во всех остальных ветвях источники электрической энергии нужно исключить, в них остаются одни резисторы.

 

Таблица 1

Номера ветвей, содержащих источники ЭДС и источник тока

(по вариантам)

J          e	1	2	3	4	5	6	-1
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3,6 4,5 4,6 5,6	01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15	16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45	46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75	76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90	91 92 93 94 95 96 97 98 99 00

Значения ЭДС определяются по номеру варианта следующим образом. Величина ЭДС с меньшим индексом задается первой цифрой, а величина ЭДС с большим индексом – второй цифрой номера варианта. Например, в варианте 47 4 В, 7 В. Если в номере варианта имеется нуль, то соответствующее значение ЭДС равно 10 В, например, в варианте 50 5 В, 10 В. В варианте 100 обе ЭДС равны 10 В. Ток идеального источника тока равен номеру ветви, в которой он находится, например, 4 А.

Сопротивления резисторов определяются по формуле , где  - номер ветви, в которой находится резистор;  - последняя цифра в порядковом номере текущего года (от 0 до 9). В ветви, в которой находится ЭДС с большим индексом, сопротивление резистора нужно приравнять нулю, например, в варианте 47 .

Требуется определить входную и передаточную проводимости ветви, содержащей ЭДС с меньшим индексом, и ток в этой ветви методом эквивалентного генератора.

 

 

Образец для оформления задания

 

Исходные данные

 

Схема электрической цепи показана на рис. 14.3. Параметры цепи 8 В, 2 В, 1 А, 1 Ом,  Ом, , 4 Ом, 5 Ом, 6 Ом.

Рис. 14.3. Схема электрической цепи

 

 

Расчет токов

 

В цепи шесть неизвестных токов, их направления показаны на рис. 14.3. В цепи четыре узла, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения. Три недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа.

Система уравнений Кирхгофа

, , ,

, , .

 

Уравнения с численными значениями параметров

, , ,

, , .

 

Искомые токи 4,213 А, 2,893 А, 3,795 А, 0,320 А,  А,  А.

Проверка:

,

,

,

,

,

.

 

 

Баланс мощностей

 

Напряжение на источнике тока определим по второму закону Кирхгофа:

,  В.

Мощность источника тока

 Вт.

Мощность источников ЭДС

 Вт,

 Вт.

Мощность источников

 Вт.

Мощность, потребляемая резисторами,

 Вт.

Баланс мощностей выполняется

 Вт= .