Истечение и дросселирование газов и паров

Процессы истечения, под которыми понимают выход газов или паров с большой скоростью из сопел, часто применяются в технике. Назначением сопла является преобразование потенциальной энергии рабочего тела в кинетическую энергию движения струи.

Рассмотрим процесс течения 1 кг рабочего тела в суживающемся канале. Параметры его до сужения – р₁, v₁, t₁. после сопла – p₂, v₂, t₂. Выделим для рассмотрения часть объема, ограниченную невесомыми поршнями I и II (рис. 4.8), имеющими площади f₁ и f₂ соответственно.

При протекании в канале 1 кг газа поршень переместится на расстояние s_l и совершит работу р₁f₁s₁ = р₁v₁. На перемещение поршня II затратится работа р₂f₂s₂ = р₂v₂. В целом работа проталкивания газа.

                                              .                                     (4.21)

Считая процесс течения адиабатным, найдем работу расширения:

                                             .                                   (4.22)

Эти два вида работы затрачиваются на изменение кинетической энергии потока:

                                  .                         (4.23)

            Ошибка! Ошибка связи.                               Ошибка! Ошибка связи.

                     Рис. 4.8                                              Рис. 4.9

Пренебрегая начальной скоростью газа ω₀ и используя связь h = u + pv, имеем:

                                                              .                                                   (4.24)

Уравнение (4.24) отражает теоретический процесс преобразования в сопле тепловой энергии рабочего тела в кинетическую. С другой стороны, для этого процесса справедливо уравнение первого закона термодинамики dq = dh –
– vdp, которое после интегрирования с учетом dq = 0 приводится к виду:

                                              .                                    (4.25)

Графически интеграл  в р, v-диаграмме изображается площадью, ограниченной кривой процесса расширения 1 – 2, изобарами p₁ и p₂ и осью ординат (на рис. 4.9 эта площадь заштрихована горизонтальными линиями).

Из уравнения адиабаты  имеем:

                                                    .                                          (4.26)

Объединив уравнения (4.24) и (4.25) и проведя интегрирование с подстановкой выражения (4.26), получаем:

                        .               (4.27)

Заметим, что работа адиабатного процесса расширения, отражаемая на р, v-диаграмме (см. рис. 4.9) площадью под процессом 1 – 2 (вертикальная штриховка),

                             .                    (4.28)

Таким образом, располагаемая работа потока, превращаемая при истечении из сопла в кинетическую энергию струи, в k раз больше работы
расширения:

                                              .                                     (4.29)

Уравнения (4.24) и (4.27) позволяют определить скорость рабочего тела на выходе из сопла:

                                              ;                                     (4.30)

                                  .                         (4.31)

С помощью выражения (4.30) удобно определять скорость истечения пара, пользуясь h, s-диаграммой (рис. 4.10). По известным начальным параметрам фиксируется точка 1. Проведя через нее адиабату до пересечения с изобарой
р₂ = const, получаем точку 2. Определив энтальпии h₁ и h₂, находим располагаемый теплоперепад h₁ – h₂, а затем подсчитываем скорость истечения w.

            Ошибка! Ошибка связи.                               Ошибка! Ошибка связи.

                    Рис. 4.10                                            Рис. 4.11

Для установившегося потока, отвечающего уравнению сплошности

                                                    ,                                           (4.32)

расход газа М остается постоянным независимо от изменения площади сечения f. В выходном сечении суживающегося сопла удельный объем

                                               .                                     (4.33)

После подстановки выражений (4.31) и (4.33) в уравнение (4.32) получаем формулу для расхода газа через сопло:

                       ,              (4.34)

или, обозначив β = p₂ / p₁:

                                   .                          (4.35)

Анализ выражения (4.35) показывает, что при β = l, т. е. p₂ = p₁, расход газа М = 0. С уменьшением β снижается давление среды, в которую происходит истечение, расход М возрастает, однако при β = 0 вновь М = 0. Из этого можно заключить, что расход газа М при некотором значении р_кр имеет максимум (рис. 4.11). В опыте находит подтверждение лишь правая ветвь кривой при
β_кр < β < 1. После достижения максимального значения, расход газа с уменьшением β остается постоянным, равным критическому, а не уменьшается, как это следует из уравнения (4.35).

Если приравнять к нулю первую производную выражения в скобках (4.35), то после преобразований получим значение р_кр, соответствующее максимуму расхода газа:

                                              .                                     (4.36)

Критическое отношение давлений зависит только от показателя адиабаты k, определяемого природой рабочего тела. Так, для двухатомных газов k = 1,4, β_кр = 0,528; для перегретого пара k = 1,3, β_кр = 0,546; для сухого насыщенного пара k = 1,135, β_кр = 0,577.

При известном начальном давлении р₁ можно найти критическое давление р_кр, устанавливающееся на срезе сопла при достижении критического режима истечения:

                                                  .                                         (4.37)

Уменьшение давления среды р₂ не влияет на режим истечения, так как давление на срезе сопла р_кр остается постоянным. Если р₂ < р_кр, то при истечении из суживающегося сопла имеет место потеря энергии, рассеиваемой в пространстве за соплом. В р, v-диаграмме (рис. 4.12) кинетическая энергия струи изображена заштрихованной площадью, а площадка под изобарой p_кр отражает потери.

Точно так же, рассматривая процесс истечения в диаграмме h, s, можно заметить, что при β < β_кр в суживающемся сопле не срабатывается весь тепловой перепад h₀ = h₁ – h₂. Величина используемого теплоперепада h_и = h₁ – h_кр определяется давлением p_кр, которое устанавливается в выходном сечении сопла. Снижение давления ниже р_кр не приводит к возрастанию скорости истечения и расхода газа через сопло (рис. 4.13).

            Ошибка! Ошибка связи.                               Ошибка! Ошибка связи.

                    Рис. 4.12                                            Рис. 4.13

Таким образом, при достижении критического отношения давлении
β_кр = p_кр / p₁ наступает критический режим истечения, характеризуемый критической скоростью и максимальным расходом газа. Подставив в уравнение (4.34) вместо отношения p₂ / p₁ критическое значение β_кр (4.36), получаем:

                                            .                                   (4.38)

Заменяя в выражении (4.38) параметры р₁ и v₁ через критические с помощью уравнения , получаем

                                           ,                                  (4.39)

где а – скорость звука в среде с параметрами p_кр, v_кр. Следовательно, максимально достижимая скорость истечения из суживающегося сопла равна скорости звука.

Максимальный расход газа определяется из выражения (4.35), если в него подставить соотношение (4.36):

                                      .                             (4.40)

Если в расчете скорости истечения используются диаграмма h, s и формула (4.31), то при достижении критического режима истечения в нее следует вместо h₂ подставить h_кр, т. е.

                                            .                                   (4.41)

Чтобы получить скорость истечения газа, превышающую скорость звука, применяют специально спрофилированные каналы, называемые соплами Лаваля. В основе их профилирования лежат следующие соображения. Если продифференцировать уравнение сплошности потока (4.32): Mdv = ωdf + fdω, а затем полученное дифференциальное уравнение почленно поделить на исходное, то имеем dv / v = df / f + dω / ω, откуда

                                                .                                       (4.42)

Соотношение (4.42) показывает, что изменение сечения канала зависит от приращения как удельного объема v, так и скорости течения w.

Проследим, как эти факторы влияют на площадь f в зависимости от давления р₂, которое уменьшается по длине канала. Кривая 1 (рис. 4.14) представляет собой зависимость v = φ(p₂), которая согласно уравнению адиабаты имеет характер неравнобокой гиперболы. Кривая 2, построенная по уравнению (4.31), отражает зависимость w = φ(p₂).

При давлении р₂ > р_кр наклон кривой 2 больше, чем кривой 1, следовательно, dw / w > dv / v. В соответствии с уравнением (4.42) в этом случае
df / f < 0, т. е. площадь сечения f должна уменьшаться.

Если же p₂ < p_кр, то, наоборот, наклон кривой 1 возрастает, а кривой 2 – уменьшается. Следовательно, dw / w < dv / v, df / f > 0 и сечение f должно расти.

Характер изменения площади сечения канала от давления р₂ на рис. 4.14 показан кривой 3.

Таким образом, для получения сверхзвуковой скорости истечения сопло должно быть комбинированным: вначале оно имеет суживающуюся часть, затем расширяется. Профиль сопла Лаваля показан на рис. 4.15. Здесь же изображены зависимости скорости течения w и местной скорости звука а от длины
канала.

В суживающейся части сопла скорость газа w_кр возрастает, достигая в минимальном сечении a. Затем в расширяющейся насадке скорость течения превышает звуковую, и на выходе из сопла можно получить скорость w» a. При этом весь располагаемый перепад давлений полностью используется на создание кинетической энергии газа.

            Ошибка! Ошибка связи.                        

                    Рис. 4.14                                            Рис. 4.15

Рассмотрим другой случай течения рабочего тела в канале, имеющем гидравлическое сопротивление: вентиль, шайбу, пористую перегородку и т. д.

В месте сужения потока скорость резко возрастает, следовательно, давление понижается
(рис. 4.16). На достаточном удалении от сужения движение потока стабилизируется и скорость его становится равной начальной, однако давление восстанавливается не полностью из-за потерь на завихрения. Перепад давлений Δр пропорционален расходу газа или жидкости, поэтому часто используется как импульс для измерения расхода.

Понижение давления рабочего тела при прохождении его через какое-либо местное сопротивление называется дросселированием.

Процесс дросселирования идет без теплообмена с окружающей средой и без совершения работы, поэтому баланс энергии до и после сужения можно
записать в виде:

                                             .                                   (4.43)

Принимая , получаем

                                                     ,                                            (4.44)

т. е. при дросселировании газа или пара его энтальпия остается неизменной.

Для идеального газа h = c_pT, c_p = const, следовательно, Т₁ = Т₂. У реальных же газов температура при дросселировании не остается постоянной. Величиной, характеризующей относительное изменение температуры с понижением давления, является дифференциальный дроссель-эффект

                                                 .                                        (4.45)

Такое состояние газа, в котором дифференциальный дроссель-эффект равен нулю и меняет знак, называется точкой инверсии. Кривая инверсии отделяет область начальных давления и температуры, при которых дросселирование газа сопровождается его охлаждением, от области, в которой дросселирование сопровождается нагреванием газа.

Температура инверсии большинства газов (кроме водорода и гелия, у которых T_инв = 200 K) достаточно велика, поэтому процессы дросселирования идут с понижением температуры. Этот эффект используется на практике для получения низкой температуры в установках охлаждения тел или сжижения
газов.

Рассматривая процесс дросселирования водяного пара в диаграмме h, s (рис. 4.17), можно заметить, что при умеренном давлении (например, от р₃ до р₄ в процессе 3 – 4) влажный пар подсушивается, становится сухим, затем перегревается. Это свойство используется для определения начальной степени сухости х₃ в приборах дроссель-калориметрах. В опыте по параметрам p₄ и Т₄ определяют состояние пара в точке 4 после дросселирования, затем по линии h₃ = h₄ находят точку 3.

В области высоких давлений дросселирование приводит в процессе 1 – 2 к превращению перегретого пара в сухой насыщенный, после чего пар увлажняется, затем вновь подсушивается и в точке 2 опять становится перегретым.

Кипящая жидкость (точка 5) при дросселировании частично испаряется и в конце процесса (точка 6) превращается в парожидкостную смесь с некоторой степенью сухости х₆.

            Ошибка! Ошибка связи.                               Ошибка! Ошибка связи.

                    Рис. 4.17                                            Рис. 4.18

Температура насыщения ее, соответствующая давлению насыщения р₆, становится значительно ниже исходной. Указанным свойством широко пользуются в холодильных установках, в которых путем дросселирования конденсата низкокипящих веществ получают низкую температуру.

В области перегретого пара при достаточном удалении от состояния насыщения изотермы в h, s-диаграмме приближаются к изоэнтальпам, поэтому изменение температуры пара при дросселировании становится незначи-тельным.

Дросселирование является типичным необратимым процессом, протекает с возрастанием энтропии и потерей работоспособности. Так, если до дросселирования располагаемый теплоперепад (рис. 4.18) составлял h₀, то после процесса дросселирования 1 – 2 располагаемый теплоперепад h_Д уменьшился в силу того, что изобара р₃ = const в области влажного пара проходит наклонно, тогда как процесс 1 – 2 в h, s-диаграмме располагается горизонтально.

Введем еще одно важное понятие – температура адиабатного торможения потока. Энергия адиабатного потока до препятствия и при набегании на него остается неизменной, поэтому для него справедливо выражение (4.40). Преобразовав его в виде  и принимая для идеального газа h= c_pT, имеем: . При полном торможении потока w₂ = 0 и температура заторможенного на каком-либо препятствии потока

                                           .                                  (4.46)

Например, приняв скорость полета сверхзвукового лайнера w₁ = 570 м/с, теплоемкость воздуха с_р = 1000 Дж/кг∙К, определим температуру передней кромки крыла: