Независимые повторные испытания.

 Схема Бернулли

 

Особое внимание в ТВ уделяется практическим ситуациям, в которых производится

серия независимых испытаний

с двумя возможными исходами в каждом,

например:

v стрельба по мишени – при каждом выстреле возможны два исхода: либо цель поражена, либо не поражена;

v конвейерное производство – каждая деталь может быть либо стандартной, либо бракованной;   и т. д.

 

   Такая схема проведения испытаний была впервые изучена Я. Бернулли и поэтому называется

 

СХЕМОЙ БЕРНУЛЛИ.     

 

Пусть многократно проводится некоторый эксперимент, в результате которого может произойти

ü   либо событие А,

ü   либо противоположное ему событие ,

причем

вероятность появления события А в каждом эксперименте не зависит от результатов предыдущих испытаний

и равна p  (0<р<1).

 

     Тогда вероятность появления в каждом эксперименте противоположного события     равна      q = 1 – p,  

    т.е. если Р(А)= p,     то Р()= q =   1 – p.

!!! События А и        являются

противоположными,

Независимыми

и несовместными

при одном испытании.

ПР   1.   Испытание:  подбрасывание монеты.

Событие А – выпадение герба, событие  – выпадение цифры.

?? Является ли это испытание схемой Бернулли?

     Р(А)= p = 1/2,  Р()= q = 1 – p = 1/2.

 

?? Какова вероятность того, что при 5 бросках герб выпадет 2 раза?  

?? Какова вероятность того, что при 7 бросках герб выпадет 3 раза?  

 

??    Какова вероятность того, что

при   n   бросках герб   выпадет m раз?

  

       ПР 2. Испытание: стрельба по мишени.

Событие А – поражение цели, событие  – промах.

?? Является ли это испытание схемой Бернулли?

  Пусть для некоторого стрелка 

Р(А) = p = 0.8, тогда

Р() = q = 1 – p = 1 – 0.8 = 0.2

 

??   Какова вероятность того, что при 5 выстрелах цель будет поражена 2 раза?  

?? Какова вероятность того, что при 7 выстрелах цель будет поражена 6 раз?  

?? Какова вероятность того, что

при  n  выстрелах  цель  будет поражена m  раз?

 

Выведем ФОРМУЛУ для вычисления

 такой вероятности.

                  

Допустим, эксперимент проведен n раз.

Вычислим   P _n (m) – вероятность того, что

при n испытаниях событие A наступит ровно m раз

(тогда остальные (n – m) раз наступит событие ).  

 Сначала выберем m  испытаний из n  и зафиксируем их номера. Мы знаем, что количество всех способов выбора m  испытаний из n  равно .  

 

Вычислим вероятность того, что   

при каждом из этих m  испытаний  произошло событие А,

а в остальных n – m   испытаниях – событие :

  если Р(А) = p,

а Р() = q =   1 – p,  

то по теореме умножения для независимых испытаний

она равна .

 

  Учтем, что количество всех способов выбора

    m  испытаний из n равно .   

     

Тогда по теореме сложения вероятностей

       искомая вероятность P_n (m) будет равна

сумме только что вычисленных вероятностей

для всех способов выбора m  испытаний из n.

Таким образом,

P_n (m) =

 

  Эта формула называется формулой Бернулли.

С её помощью вычисляется P _n (m) – вероятность того, что

при n испытаниях событие A наступит ровно m раз

(тогда остальные (n – m) раз наступит событие ).

 

ПР 1. Испытание: подбрасывание монеты.

Событие А – выпадение герба, событие  – выпадение цифры.

                   Р(А)= p = 1/2,           q = 1 – p = 1/2. 

 

1) Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что при 5 бросках герб выпадет 2 раза?

n = 5,     m = 2, p = 0.5,    q =  0.5

 

P₅ (2) =         =

= (5*4)/2* (1/2)⁵ = 10/2⁵ = 5/16.

 

2) Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что при 7 бросках герб выпадет 3 раза?

     

      n =7, m = 3,      p = 0.5, q =  0.5, 

 P₇ (3) = =

 

=  =

= ………………………. =

= 35/128

 

3) Что вероятнее: выпадение 2 гербов при 5 бросках       

                      или 3 гербов при 7 бросках?

       (что больше:  5/16 или 35/128?)

         ....................................................................

4) Что вероятнее: выпадение 2 гербов при 5 бросках

                    или 3 цифр при 5 бросках?