Обещает стать наиболее важным

Н. Винер

    Трудно найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностно-статистические методы. Они применяются практически во всех областях науки, в экономике, военном деле, техни­ке, медицине, криминалистике и т.д.

Эти методы базируются на понятиях

случайного события и вероятности.

Решающий вклад в теорию ве­роятностей внесли такие замечательные математики как

Пьер Ферма,

Якоб Бернулли,

Симон Лаплас,

Пафнутий Львович  Чебышев,

Андрей Николаевич Колмогоров

и многие другие.

 Блез Паскаль - франц. ученый XVІІ в., один из первых исследователей случайного, обратил внимание на парадоксальность сочетания слов теория и вероятность.

В своем письме в Парижскую академию наук в 1654 году он писал:

«И так как строгость научных доказательств сочетается здесь с неопределенностью случайности, то трактат, где эти два предмета, с виду противоположные, как бы примирились друг с другом, может по праву претендовать на ошеломляющее название " Математика случая "».

  

  Считается, что к выводу о существовании строгих законов, описывающих случайные явления, Паскаль пришел в результате размышлений над двумя задачами, которые поставил перед ним известный игрок шевалье де Мере.

************************

Задачи   де  Мере.

    Первая задача де Мере.

  Что вероятнее: при 4 бросаниях одной игральной кости хотя бы раз получить 6 очков или при 2-х бросаниях двух костей хотя бы раз получить 12 очков?

  Вторая задача де Мере.       

  Два игрока, одинаково искусных, договорились сыграть серию в несколько партий с условием, что приз получает тот из них, кто первым выиграет пять партий. По правилам игры каждая партия заканчивается поражением одного из игроков.

 Турнир был прерван, когда один из участников выиграл 4 партии, а другой – 3. Тем самым были сыграны 7 партий, и никто из игроков не успел набрать необходимого для победы. Как следует разделить приз между игроками?

********************

       

Обращение к азартным играм вовсе не случайно. Законы исчисления вероятностей обнаруживаются только при большом числе однотипных случайных испытаний,

при многократном повторении опыта.

 

Такими простыми и многократно повторяющимися опытами как раз и явились азартные игры в карты и кости, широко распространенные в Европе в XVІ – XVІІ веках. О них писали и Дж. Кардано, и Г. Галилей, и Х. Гюйгенс.

 

Азартными играми увлекались и в России.

Что ни толкуй

      Волтер или Декарт –

Мир для меня – колода карт,

Жизнь – банк, рок мечет – я играю,

И правила игры я к людям

                      применяю.

          

         М.Ю. Лермонтов

            

            Однако   рассчитывать меру надежды

пытаются не только игроки.

 

 «Замечательно, что наука, которая

начала с рассмотрения азартных игр,

Обещает стать наиболее важным

объектом человеческого знания …

Ведь большей частью

важнейшие жизненные вопросы

 являются на самом деле

 задачами из теории вероятностей».

                      П.Лаплас

 

Независимыми

и несовместными

при одном испытании.

ПР   1.   Испытание:  подбрасывание монеты.

Событие А – выпадение герба, событие  – выпадение цифры.

?? Является ли это испытание схемой Бернулли?

     Р(А)= p = 1/2,  Р()= q = 1 – p = 1/2.

 

?? Какова вероятность того, что при 5 бросках герб выпадет 2 раза?  

?? Какова вероятность того, что при 7 бросках герб выпадет 3 раза?  

 

??    Какова вероятность того, что

при   n   бросках герб   выпадет m раз?

  

       ПР 2. Испытание: стрельба по мишени.

Событие А – поражение цели, событие  – промах.

?? Является ли это испытание схемой Бернулли?

  Пусть для некоторого стрелка 

Р(А) = p = 0.8, тогда

Р() = q = 1 – p = 1 – 0.8 = 0.2

 

??   Какова вероятность того, что при 5 выстрелах цель будет поражена 2 раза?  

?? Какова вероятность того, что при 7 выстрелах цель будет поражена 6 раз?  

?? Какова вероятность того, что

при  n  выстрелах  цель  будет поражена m  раз?

 

Выведем ФОРМУЛУ для вычисления

 такой вероятности.

                  

Допустим, эксперимент проведен n раз.

Вычислим   P _n (m) – вероятность того, что

при n испытаниях событие A наступит ровно m раз

(тогда остальные (n – m) раз наступит событие ).  

 Сначала выберем m  испытаний из n  и зафиксируем их номера. Мы знаем, что количество всех способов выбора m  испытаний из n  равно .  

 

Вычислим вероятность того, что   

при каждом из этих m  испытаний  произошло событие А,

а в остальных n – m   испытаниях – событие :

  если Р(А) = p,

а Р() = q =   1 – p,  

то по теореме умножения для независимых испытаний

она равна .

 

  Учтем, что количество всех способов выбора

    m  испытаний из n равно .   

     

Тогда по теореме сложения вероятностей

       искомая вероятность P_n (m) будет равна

сумме только что вычисленных вероятностей

для всех способов выбора m  испытаний из n.

Таким образом,

P_n (m) =

 

  Эта формула называется формулой Бернулли.

С её помощью вычисляется P _n (m) – вероятность того, что

при n испытаниях событие A наступит ровно m раз

(тогда остальные (n – m) раз наступит событие ).

 

ПР 1. Испытание: подбрасывание монеты.

Событие А – выпадение герба, событие  – выпадение цифры.

                   Р(А)= p = 1/2,           q = 1 – p = 1/2. 

 

1) Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что при 5 бросках герб выпадет 2 раза?

n = 5,     m = 2, p = 0.5,    q =  0.5

 

P₅ (2) =         =

= (5*4)/2* (1/2)⁵ = 10/2⁵ = 5/16.

 

2) Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что при 7 бросках герб выпадет 3 раза?

     

      n =7, m = 3,      p = 0.5, q =  0.5, 

 P₇ (3) = =

 

=  =

= ………………………. =

= 35/128

 

3) Что вероятнее: выпадение 2 гербов при 5 бросках       

                      или 3 гербов при 7 бросках?

       (что больше:  5/16 или 35/128?)

         ....................................................................

4) Что вероятнее: выпадение 2 гербов при 5 бросках

                    или 3 цифр при 5 бросках?

Их вероятности равны.

5) Монету подбрасывают 6 раз.

· Найти вероятность того, что

       герб выпадет не более 2-х раз.

n =6, «не более 2-х раз» означает: или 2 раза, или 1 раз, или ни разу(0 раз), т.е. m  2.

      

P ₆ (m  2) =

= P ₆ (0) + P ₆ (1) + P ₆ (2) =

… =

= 1/2⁶ + 6/ 2⁶ + 15/ 2⁶ =

=22/64 = 11/32

· Найти вероятность того, что герб выпадет  более 2-х раз (от 3-х до 6-ти раз).

  n =6, m > 2.

Какими будут события:

"герб выпадет не более 2-х раз " и

"герб выпадет более 2-х раз "?

 

Эти события противоположны, поэтому

  P ₆ (m > 2) = 1 - P ₆ (m  2) = 1 – 11/32 = 21/32

ПР 2. Испытание: стрельба по мишени.

Событие А – поражение цели,    событие  – промах. 

          

Пусть для некоторого стрелка  Р(А)= p = 0.8,

тогда Р()= 1 – p = q = 1 – 0.8 = 0.2

 

1) Какова вероятность того, что при 5 выстрелах цель будет поражена 2 раза?

n =..., m =..., p =..., q =...

 

P ₅ (2) = =

=……………………=

=(5*4)/2*0.64* 0.008=

= 6.4*0.008 = 0.0512 0.05

    

2) Какова вероятность того, что при 7 выстрелах цель будет поражена 6 раз?

                      n =, m =, p =, q =    

                  P ₇ (6) = =

= ……………… =

= =

= ……………… =

= 7* 0.0524288 =  0.3670016  0.37.

 

ПР 3. Испытание:   стрельба по мишени.

Событие А – поражение цели, событие  – промах.

 

Пусть для некоторого стрелка  Р(А)= p = 2/3,

тогда  Р()= 1 – p = q =   1 –2/3= 1/3

 

1) Какова вероятность того, что при 6 выстрелах попадание произойдет 4 раза?

             n =, m =,   p =, q =

 

             P₆ (4) =  =

 

  =(6*5)/2*    =

= ……………………… =  80/243  0.33.

2) Какова вероятность того, что при 6 выстрелах попадание произойдет не меньше 3-х раз, но не больше 4-х раз?

                n =, p =, q =

                   m -?   

       P ₆ (3 ≤ m ≤ 4) =

       = P ₆ (3) + P ₆ (4) =

       = ………...........=

       = (160 + 240)/729 =

       = 400/729    0.55

 

ПР. 4. Производится 8 выстрелов по цели, в каждом из которых вероятность попадания в цель равна 0.1. Для разрушения цели требуется хотя бы два попадания. Найти вероятность того, что цель будет разрушена.

 

Событие А – попадание в цель, событие  – промах. p = ____, q = ____

Н. Винер

    Трудно найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностно-статистические методы. Они применяются практически во всех областях науки, в экономике, военном деле, техни­ке, медицине, криминалистике и т.д.

Эти методы базируются на понятиях

случайного события и вероятности.

Решающий вклад в теорию ве­роятностей внесли такие замечательные математики как

Пьер Ферма,

Якоб Бернулли,

Симон Лаплас,

Пафнутий Львович  Чебышев,

Андрей Николаевич Колмогоров

и многие другие.

 Блез Паскаль - франц. ученый XVІІ в., один из первых исследователей случайного, обратил внимание на парадоксальность сочетания слов теория и вероятность.

В своем письме в Парижскую академию наук в 1654 году он писал:

«И так как строгость научных доказательств сочетается здесь с неопределенностью случайности, то трактат, где эти два предмета, с виду противоположные, как бы примирились друг с другом, может по праву претендовать на ошеломляющее название " Математика случая "».

  

  Считается, что к выводу о существовании строгих законов, описывающих случайные явления, Паскаль пришел в результате размышлений над двумя задачами, которые поставил перед ним известный игрок шевалье де Мере.

************************

Задачи   де  Мере.

    Первая задача де Мере.

  Что вероятнее: при 4 бросаниях одной игральной кости хотя бы раз получить 6 очков или при 2-х бросаниях двух костей хотя бы раз получить 12 очков?

  Вторая задача де Мере.       

  Два игрока, одинаково искусных, договорились сыграть серию в несколько партий с условием, что приз получает тот из них, кто первым выиграет пять партий. По правилам игры каждая партия заканчивается поражением одного из игроков.

 Турнир был прерван, когда один из участников выиграл 4 партии, а другой – 3. Тем самым были сыграны 7 партий, и никто из игроков не успел набрать необходимого для победы. Как следует разделить приз между игроками?

********************

       

Обращение к азартным играм вовсе не случайно. Законы исчисления вероятностей обнаруживаются только при большом числе однотипных случайных испытаний,

при многократном повторении опыта.

 

Такими простыми и многократно повторяющимися опытами как раз и явились азартные игры в карты и кости, широко распространенные в Европе в XVІ – XVІІ веках. О них писали и Дж. Кардано, и Г. Галилей, и Х. Гюйгенс.

 

Азартными играми увлекались и в России.

Что ни толкуй

      Волтер или Декарт –

Мир для меня – колода карт,

Жизнь – банк, рок мечет – я играю,

И правила игры я к людям

                      применяю.

          

         М.Ю. Лермонтов

            

            Однако   рассчитывать меру надежды

пытаются не только игроки.

 

 «Замечательно, что наука, которая

начала с рассмотрения азартных игр,

обещает стать наиболее важным

объектом человеческого знания …

Ведь большей частью

важнейшие жизненные вопросы

 являются на самом деле

 задачами из теории вероятностей».

                      П.Лаплас