Скалярное произведение векторов. b) вычислить a ∙ b и a ∙ p

b) вычислить a ∙ b   и a ∙ p

В отличие от предыдущего пункта, здесь нельзя составить обычное умножение векторов, т.к. компилятор R покоординатно перемножит векторы, что не является скалярным произведением. Вообще, важно различать покоординатное произведение векторов (не используется в векторной алгебре, но удобно в программировании):

a 1 b 1; a 2 b 2;…; a n b n

 и скалярное произведение векторов (то что нам сейчас нужно):

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +…+ a n b n .

Как видите, в результате получается не вектор, а число (скаляр) – отсюда и название скалярное произведение. Желая подчеркнуть эту разницу в линейной алгебре часто используют круглые скобки для обозначения скалярного произведения: a ∙ b = a; b.

В языке R эти два приёма программируется следующим образом:

a*b                    # Покоординатное произведение векторов (не скалярное произведение!)

a%*%b             # Скалярное произведение векторов

с результатом:

> a*b        # Покоординатное произведение векторов (не скалярное произведение!)[1] -12 -27 -48 -3> a%*%b      # Скалярное произведение векторов [,1][1,] -90

Обратите внимание, что результат скалярного произведения представлен в виде матрицы 1×1 , т.к. в языке R эта операция интерпретируется как частный случай произведения специальных матриц. Если мы не хотим видеть результат в виде матрицы, мы можем вывести его как обычное число:

as.numeric(a%*%b)             # Скалярное произведение векторов

> as.numeric(a%*%b)[1] -90

    Аналогично получим скалярное произведение a ∙ p :

as.numeric(a%*%p)             # Скалярное произведение векторов

> as.numeric(a%*%p)[1] 0

    Кстати, в последнем случае результат оказался равным нулю, что говорит об ортогональности (перпендикулярности) векторов a  и p .

    Впрочем, для нахождения скалярного произведения мы могли бы использовать простую конструкцию в виде суммы (sum) попарных произведений координат:

sum(a*p)             # Фактически тоже скалярное произведение векторов

с тем же результатом.

с) вычислить a 2 = a ∙ a

Квадрат вектора a 2  понимается в векторной алгебре как скалярное произведение самого на себя a ∙ a , поэтому легко получить:

as.numeric(a%*%a)             # Квадрат вектора

> as.numeric(a%*%a)   # Квадрат вектора[1] 30

Проверьте, что результат, действительно, равен сумме квадратов координат вектора:

a 2 = a ∙ a = a 1 a 1 + a 2 a 2 +…+ a n a n = a 1 2 +… +a n 2

Замечание. Ошибкой было бы записать a*a или a^2, т.к. в этом случае R выдал бы покоординатное выполнение указанных операций, а не их сумму: (a 1 2,…,a n 2)  .

Длина вектора

d) вычислить a , b  и p    

Длиной вектора называют число, равное квадратному корню из a 2  и по смыслу это число является длиной отрезка, соединяющего начало и конец вектора, если его интерпретировать как направленный отрезок в евклидовой геометрии:

a = a 1 2 +… +a n 2

В языке R получить данное выражение можно несколькими способами. Первый из них – вызвать специальную функцию вычисления нормы элемента для вектора:

norm(a, type="2") # Длина вектора a (обычная евклидова)

с результатом:

> norm(a, type="2")    # Длина вектора a (обычная евклидова)[1] 5.477226

Второй способ – образовать, согласно формуле, корень из суммы квадратов элементов:

sqrt(sum(a^2))      # Альтернатива: длина вектора a  

с тем же результатом:

> sqrt(sum(a^2))         # Альтернатива: длина вектора a[1] 5.477226

    Аналогично получаем для оставшихся векторов:

norm(b, type="2") # Длина вектора b (обычная евклидова)

sqrt(sum(p^2))      # Альтернатива: длина вектора p