Основные свойства неопределенного интеграла

Из рассмотренных ранее примеров видно, что можно находить интегралы, подбирая первообразные. Однако это не всегда просто. При интегрировании помогает знание некоторых свойств интеграла, формул интегрирования, а также специальных приемов.

Рассмотрим сначала основные свойства неопределенного интеграла.

 

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Это свойство непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку , а .

Так, .

На этом свойстве основано доказательство следующих свойств.

 

1. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

,

 где m – постоянная величина, не равная нулю.

Это свойство доказывается дифференцированием обеих частей приведенного равенства. При этом учитывается свойство 1: производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Действительно,

 .

Например, , где а – постоянная, не равная нулю.

 

1. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

Для доказательства найдем производные обеих частей равенства и покажем, что они равны между собой. Сначала найдем производную левой части:

мы воспользовались свойством 1 неопределенного интеграла.

Теперь найдем производную правой части равенства:

.

Здесь был использован тот факт, что производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме этих функций, а также свойство 1 неопределенного интеграла.

Итак, производные обеих частей равенства равны между собой, что и доказывает свойство 3.

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла. Действительно, , а . Свойство 4 означает, что знак дифференциала аннулирует знак интеграла.

Например,  и т.д.

 

1. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

 или .

Действительно, . Возьмем интеграл от обеих частей равенства и получим . Но, по определению, , т.е. .

Например, и т.д.

На основании этого свойства выводятся формулы интегрирования.

 

Формулы интегрирования

Из определения интеграла следует, что для того, чтобы проинтегрировать функцию, нужно найти ее первообразную. Для ряда функций это легко сделать, используя соответствующие формулу интегрирования.

Например, мы знаем, что ; отсюда следует, что .

Итак, формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Выпишем в таблицу основные интегралы.

 

при

Интегралы, приведенные в этой таблице, называются табличными интегралами.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал – подынтегральное выражение.

Формула 1 справедлива при любом n, кроме n=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль и выражение теряет смысл. Для доказательства найдем производную правой части равенства:

Мы получили подынтегральную функцию; следовательно, формула верна.

Случаю n=-1 соответствует формула 2:

 

Чтобы найти , заметим, что функция  непрерывна в промежутках  и , причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке  этой первообразной, очевидно, является функция , так как , т.е.  при .

В промежутке  первообразной по отношению к  является , т.е.  при . Действительно,  существует при  и .

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью .

Справедливость всех остальных табличных интегралов легко проверить, если продифференцировать их правые части.

 

Отметим, что формула 3 является частным случаем формулы 4 при .

 

Вычисление интегралов способом приведения их к табличным с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств 2 и 3 неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. При этом полезно запомнить, что  (формула 1 при ).

1.

 

2.

 

=

 

3.

 

=

 

4.

=