Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Свойства. Формулы интегрирования.

Первообразная

Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция  называется первообразной для функции  на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Так, функция  есть первообразная функции  на интервале , поскольку для всех  имеет место равенство .

1. Найти первообразную функции . Решение: Используя правило дифференцирования, можно догадаться, что на интервале  первообразной является . Действительно,  для всех . 2. Найти первообразную функции  на множестве R. Решение: Степень  получается при дифференцировании . Так как , то, чтобы при дифференцировании  получить перед  коэффициент 1, нужно взять с коэффициентом 1/7. Следовательно, .

Дифференцирование функции – однозначная операция, т.е. если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то только один. Обратная операция – отыскание первообразной – не однозначна.

Так, функции , где С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции , поскольку все эти функции имеют одну и ту же производную .

Теорема. Если  является первообразной функции  на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид  , где С – любое действительное число.

Доказательство: Пусть . Тогда .

Покажем теперь, что все первообразные функции   отличаются лишь постоянным слагаемым.

Пусть Ф(х) – другая первообразная функции   на рассматриваемом промежутке, т.е. .

Тогда  при всех х из рассматриваемого промежутка. Следовательно, , что и требовалось установить.

Таким образом, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, а выражение   исчерпывает множество всех первообразных заданной функции . Итак, задача нахождения первообразной неоднозначна. Она имеет бесконечное множество решений.

Геометрически выражение   представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси Оу.

Неопределенный интеграл

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных  функции  на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где - подынтегральная функция,  - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, если  - какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный интеграл».

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Слово «интеграл» происходит от латинского слова integer, что означает «восстановленный». Интегрируя какую-либо функцию, например , мы как бы восстанавливаем функцию , производная которой равна .

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Например, . Сделаем проверку: или . Следовательно, интеграл найден верно.

Формулы интегрирования

Из определения интеграла следует, что для того, чтобы проинтегрировать функцию, нужно найти ее первообразную. Для ряда функций это легко сделать, используя соответствующие формулу интегрирования.

Например, мы знаем, что ; отсюда следует, что .

Итак, формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Выпишем в таблицу основные интегралы.

 

при

Интегралы, приведенные в этой таблице, называются табличными интегралами.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал – подынтегральное выражение.

Формула 1 справедлива при любом n, кроме n=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль и выражение теряет смысл. Для доказательства найдем производную правой части равенства:

Мы получили подынтегральную функцию; следовательно, формула верна.

Случаю n=-1 соответствует формула 2:

 

Чтобы найти , заметим, что функция  непрерывна в промежутках  и , причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке  этой первообразной, очевидно, является функция , так как , т.е.  при .

В промежутке  первообразной по отношению к  является , т.е.  при . Действительно,  существует при  и .

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью .

Справедливость всех остальных табличных интегралов легко проверить, если продифференцировать их правые части.

 

Отметим, что формула 3 является частным случаем формулы 4 при .

 

Вычисление интегралов способом приведения их к табличным с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств 2 и 3 неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. При этом полезно запомнить, что  (формула 1 при ).

1.

 

2.

 

=

 

3.

 

=

 

4.

=

Замечания.

1. Под  в формуле (2) понимают простейшую из первообразных функций, у которой С=0.

1. Так как приращение  равно некоторому числу, то определенный интеграл есть число (в отличие от неопределенного интеграла, который, как известно, есть совокупность функций).

 

Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов. Числовое значение определенного интеграла зависит от вида функции, стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов и не зависит от обозначения переменной.

Если формулу Ньютона-Лейбница сравнить с формулой (1), то, очевидно, что   и есть площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции   на отрезке .

Таким образом, если функция   положительна, то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Тогда площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле

         

                                      (3)

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.