Геометрический смысл интеграла

ТЕМА: «Криволинейная трапеция».

Определение

  Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью , слева и справа – прямыми и называется криволинейной трапецией.

Задание: Определите являются ли данные фигуры криволинейными трапециями и можно ли их достроить до криволинейной трапеции:

 

Площадь криволинейной трапеции.

Задания2: Рассмотрите решение задач.

 

Пример 1. Окружность с центром в начале координат задаётся уравнением х²+у²=R²

Тогда её часть расположенная выше оси абсцисс есть график функции , где .

Используя геометрический смысл определённого интеграла площадь круга радиуса R

 Вычислите этот интеграл.

3. Объём тела вращения

Пусть Г график непрерывной положительной функции у=f(x) в прямоугольной системе координат хОу. Необходимо вычислить объём тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикулярно оси х. Если тело разбито на части как можно найти его объём? Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих. Поэтому можно разбить наше тело на части.

Разобьем отрезок [a;b] на части точками a<x₀<x₁<…..<x_n<b. Рассмотрим цилиндр с высотой и радиуса основания y_k = f(x_k).

Как можно вычислить объём цилиндра?

Тогда объем нашего цилиндра будет равен

Тогда объём всего тела может быть записан при помощи приближённого равенства . Чтобы получить точное равенство надо взять предел

По определению определённого интеграла мы получили формулу для вычисления объёма тела вращения.

4. Решение задач

. Используя формулу объёма тела вращения, получите формулу для вычисления объёма конуса.

Чтобы воспользоваться полученной формулой необходимо задать с помощью функции прямую, которую будем вращать вокруг оси Ох.

Уравнение прямой y=kx

k – угловой коэффициент прямой k=tg

тогда уравнение прямой примет вид , а . найдите формулу объёма конуса.

 

5. Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= sinx, 0?х??, вокруг оси Ох.

 

 

1.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (слайд 14)

, х=0, у= вокруг оси Оу

Решение:

Аналогично можно доказать, что объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу можно вычислить по формуле

Практическое занятие №28

Тема: Нахождение определённого интеграла

Цель: Вычислить определенный интеграл.

Изучаемые вопросы:

Определение определенного интеграла, формулы интегрирования, Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов методом подстановки и заменой.

 

Задание 1. Вычислите определенный интеграл:

Задание 2. Вычислите определенный интеграл:

                                                               

Я знаю и умею

Мне необходимо изучить следующие вопросы:

Практическое занятие №29

Тема: Применения определённого интеграла в физике и геометрии

Цель: Познакомиться с применением определённого интеграла в геометрии и физике.

 

Задание 1. Решите задачи:

1. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением .

Вычислите ее путь от начала движения до остановки.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением .

Вычислите ее путь за 4 секунды от начала движения.

3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением .

 Вычислите ее путь за третью секунду.

4. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением .

 Вычислите ее путь от начала движения до остановки.

5. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением .

Вычислите ее путь за 5 секунд от начала движения.

6. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением .

Вычислите ее путь за четвертую минуту.

 

Подготовка к зачету

Самостоятельная  работа:

Вариант 1

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

6. .

7. .

8. .

9. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: .

Вариант 2

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

6. .

7. .

8. .

9. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: .

 Время на выполнение: 45 мин.

Критерии оценивания

«отлично» - 85%-100% правильных ответов,

 «хорошо»- 65%-85% правильных ответов,

 «удовлетворительно»- 50%-65% правильных ответов,

«неудовлетворительно»- менее 50% правильных ответов

Вариант 1. (те, кто имеет порядковый четный номер)

1.       Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Вычислите ее путь за  5 секунд от начала движения.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Вычислите ее путь за четвертую минуту.

3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Вычислите ее путь от начала движения до остановки.

4. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Найти закон движения точки, если за время t = 1 с она пройдет путь S = 5 м.

Вариант 2. (те, кто имеет порядковый четный номер)

1.       Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Вычислите ее путь за 4 секунды от начала движения.

2.       Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Вычислите ее путь за третью секунду.

3.       Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Вычислите ее путь от начала движения до остановки.

4.       Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением. Найти закон движения точки, если за время t = 3 с она пройдет путь S = 20 м.

5.       Точка движется прямолинейно с ускорением. В момент времени ее скорость, пройденный путь. Найдите: закон изменения скорости точки; закон движения; ускорение, скорость и путь в момент времени. 

Дополнительное задания

1. Скорость движения тела задана уравнением . Найти уравнение движения, если в начальный момент времени
2. Найти уравнение движения точки, если к моменту начала отсчета она прошла путь , а его скорость задана уравнением
3. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти уравнение движения тела, если известно, что за 3 с оно прошло 18 м.
4. Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найти путь, пройденный телом за 5 с от начала движения.
5. Скорость движения тела изменяется по закону м/с. Найти путь, пройденный телом за 4 с от начала движения.
6. Найти путь пройденный телом за 10-ю секунду, зная, что что скорость его прямолинейного движения выражается формулой м/с.
7. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки, если скорость ее прямолинейного движения изменяется по закону м/с.
8. Какую работу совершает сила в 8 Н при растяжении пружины на 6 см?
9. Сила в 40 Н растягивает пружину на 0,04 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,02 м?
10. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 30 м, а высота 10 м, причем верхний конец пластинки совпадает с уровнем воды.
11. Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см.

VIII. Подведение итогов:

1. Какие задачи можно решать, с помощью  интеграла?
2.Чему научились?
3.Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?

1.  «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
2. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.