Тема: производная и ее применение

Тема: производная и ее применение

Сначала даны задания, затем теория по теме (там есть подробные примеры решения задач по каждому виду задач), затем ответы к разделу

Выполняете задания 3,4,5,6.

Пишите все компактно, скоро курс подключат к Sokai, будете фотографировать задания, которые сделали, и отправлять мне.

Задание 3. Найти производные следующих сложных функций:

3.10.

3.11. .

3.12. .

Задание 4. Найти производные функций, заданных неявно и параметрически: (здесь a, b - это константы)

4.1. .	4.2. .	4.3. .
4.4. .	4.5. .	4.6. .
4.10.	4.11.	4.12.

Задание 5. Найти значение производной функции в данной точке:

5.1 в точке .	5.2. в точке .
5.3. в точке .

Задание 6. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке M:

6.1. , .	6.2. , .
6.3. , .	6.4. , .

Тема 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Понятие производной.

Пусть функция  определена на интервале . Выберем произвольную точку  из этого интервала и зададим значению  приращение . Тогда функция получит соответствующее ему приращение .

Определение 8.1. Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует), т.е.

.

Производная функции имеет несколько обозначений: .

Пример 8.1. Используя определение, доказать, что .

Решение: Найдем приращение функции  в точке :

.

Тогда , где при  (попервому замечательному пределу),  (из-за непрерывности функции ). Таким образом, .

Определение 8.2. Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием этой функции.

Определение 8.3. Функция, имеющая в точке  производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.

Основные правила дифференцирования.

1) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

.

2) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:

.

3) Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Таблица производных.

1. .	2. .
3.	4. .
5.	6.
7.	8. .
9. .	10.
11.	12.
13. .	14. .
15. .	16. .

Пример 8.2. Найти производную функции .

Решение: Используя правила дифференцирования (1 и 4) и таблицу производных, находим, что

.

Пример 8.3. Найти производную функции .

Решение: Используя правило дифференцирования (2) и таблицу производных, находим, что

.

Пример 8.4. Найти производную функции .

Решение: Используя правило дифференцирования (3) и таблицу производных, находим, что

Тема: производная и ее применение

Сначала даны задания, затем теория по теме (там есть подробные примеры решения задач по каждому виду задач), затем ответы к разделу

Выполняете задания 3,4,5,6.

Пишите все компактно, скоро курс подключат к Sokai, будете фотографировать задания, которые сделали, и отправлять мне.

Задание 3. Найти производные следующих сложных функций:

3.10.

3.11. .

3.12. .

Задание 4. Найти производные функций, заданных неявно и параметрически: (здесь a, b - это константы)

4.1. .	4.2. .	4.3. .
4.4. .	4.5. .	4.6. .
4.10.	4.11.	4.12.

Задание 5. Найти значение производной функции в данной точке:

5.1 в точке .	5.2. в точке .
5.3. в точке .

Задание 6. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке M: