Краткие теоретические сведения и расчетные формулы

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент М_к. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на оставшуюся часть стержня со стороны отброшенной части момент направлен против хода часовой стрелки. Стержень, испытывающий деформацию кручения, называется валом.

График, показывающий изменение крутящего момента вдоль оси вала, называется эпюрой крутящих моментов (Эп. Мк). Для построения Эп. Мк вал разделяют на участки,  на каждом из которых крутящий момент находят методом сечений, а затем строят графики полученных уравнений. Пример 5.1. Вал (рис. 5.1, а) для построения эпюры крутящих раз­деляем на два участка. Проведя на левом участке произвольное сечение, вы­де­­ляем правую часть вала, дейст­вие левой части положительным крутя­щим моментом Мк 1 (рис. 5.1, б). Из урав­нения равновесия в виде = – + = 0 находим = – = 12–5 = 7 кНм при любом значении z 1. График этого уравнения – прямая, параллельная оси z. Правый участок вала рассекаем сечением с z 2, выделяем правую часть вала, действие левой части положительным крутящим моментом Мк 2 (рис. 5.1, в).  Из уравнения равновесия = + = 0 находим = = –5 кНм любом значении z 2. График этого уравнения – прямая, параллельная оси z.

 

Деформации и напряжения при кручении

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, скручиваемый моментами МК (рис. 5.2). Левый конец стержня будем считать неподвижным. Образующие, нанесенные на поверхности стержня, оставаясь прямыми, поворачиваются на одинаковый угол γ (угол сдвига). Правый торец стержня, оставаясь плоским, поворачивается на угол φ, называемый углом закручивания. Размеры стержня не изменяются. Если крутящий момент по длине стержня остаётся постоянным, то угол закручивания вычисляют по формуле: φ = ,

где – длина стержня; – модуль сдвига; – полярный момент инерции площади поперечного сечения.

Произведение называется жесткостью сечения при кручении.

 

В поперечном сечении стержня возникают касательные напряжения, направленные перпендикулярно радиусу (рис. 5.3) и вычисляемые по формуле

 

,

 

где ρ – расстояние от центра сечения до той точки, в которой вычисляют напряжение.

 

 

Рис. 5.3. Касательные напряжения при кручении: а – напряжения в точке; б – эпюра напряжений для круглого поперечного сечения; в – эпюра напряжений для кольцевого поперечного сечения

 

Максимальные касательные напряжения возникают в точках контура поперечного сечения, их определяют по формуле

 

,

 

где – полярный момент сопротивления сечения.