Определение равнодействующей плоской системы сходящихся сил

Цель работы:

1 Научиться определять реакции в стержнях кронштейна аналитическим методом.

2 Составлять уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил.

3 Научиться определять реакции в стержнях кронштейна графическим методом.

 

(аналитический способ)

Последовательность решения задачи:

1 Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать.

2 Освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принято предлагать, что стержни растянуты.

3 Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости.

∑ F_{i х} = 0;

∑ F_{i у} = 0,                                             (1)

Выбирая оси координат, следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно одной из неизвестных сил.

4 Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений.

5 Проверить правильность полученных результатов, решив уравнения равновесия относительно заново выбранных координат Х и У.

 

 

Пример. Определить реакции стержней, удерживающих грузы

F₁=70 кН и F₂=100 кН (рис. 1). Массой стержней пренебречь.

 

Рисунок 1 - Схема задачи

Решение:

1 Рассматриваем равновесие шарнира В (рисунок 1).

2 Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рисунок 2).

3 Выбираем систему координат, совместив ось У по направлению с реакцией R₂ (рисунок 2) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

Рисунок 2 - Выбор систем координат

∑ F_{i х} = 0; - R₁ × cos 45 ° + F₂ × cos 30 ° = 0 (1)

∑ F_{i у} = 0; R₁ × cos 45 ° + R₂ + F₂ × cos 60 ° - F₁ = 0 (2)

 

4 Определяем реакции стержней R₁ и R₂ решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

 

Подставляя найденное значение R₁ в уравнение (2), получаем

R₂ = F₁ - F₂ × cos 60 ° - R₁ × cos 45 ° = 70 - 100 × 0,5 - 122 × 0,707 = - 66,6 кН

 

Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное - следует направить реакцию R₂ в противоположную сторону, то есть к шарниру В (на рисунке 3 истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором).

Рисунок 3 - Истинное направление реакций

 

5 Проверяем правильность полученных результатов, выбрав новое расположение осей координат Х и У (рисунок 4). Относительно этих осей составляем уравнения равновесия:

Рисунок 4 - Выбор систем координат

 

å F_{i х} = 0; - R₂ × cos 45 ° + F₂ × cos 15 ° - F₁ × cos 45 ° = 0 (3)

å F_{i у} = 0; R₁ - F₁ × cos 45 ° - R₂ × cos 45 ° - F₂ × cos 75 ° = 0 (4)

 

Подставляем значения реакций R₁ и R₂, полученные при решении уравнений (1) и (2), в уравнения (3) и (4).

Условия равновесия ∑ F_{i х} = 0; ∑F_{i у} = 0 выполняется следовательно, задача решена правильно.

 

 

Таблица 1 Исходные данные (первая цифра варианта)

Первая цифра варианта	F1, кН	F2, кН
0	10	25
1	20	35
2	30	45
3	40	55

 

Таблица 2 Схемы кронштейнов (вторая цифра варианта)

(графический способ)

Последовательность решения задачи:

1 Выбрать масштаб. (Например 1кН=10мм, или 10кН=5мм.);

2 В выбранном масштабе построить одну из известных сил (Например F ₁);

3 Из конца построенной силы провести вторую известную силу (F ₂);

4 Через начало силы F ₁ и конец силы F ₂ провести прямые, параллельные реакциям R ₁ и R ₂, до взаимного пересечения;