Основы теории оболочек вращения

Краевой эффект.

В случае осесимметричной деформации положим  и все величины - не зависящими от угловой координаты . В этом случае

Полная система уравнений будет иметь вид:

                                     (47)

                                                     (48)

                                                       (49)

                                           (50)

                                                           (51)

                                                       (52)

                                             (53)

Если нагрузки  меняются вдоль меридиана достаточно плав­но, частное решение уравнений можно, как уже указывалось, найти по формулам безмоментной теории оболочек.

Рассмотрим однородные уравнения, когда . Моментное напряженное состояние при осесимметричной деформации теряет смысл, так как из решения уравнений  получаются пере­мещения и и w, соответствующие лишь движению оболочки как твердого тела вдоль оси симметрии. Для приближенного определения смешанного напряженного состояния, которое соответствует краево­му эффекту, рассмотрим упрощения исходных уравнений, следующие из условия быстрой изменяемости напряженного состояния вдоль ме­ридиана. Будем считать,-что для всех искомых сил и перемещений вы­полняется условие

 

где  — окружной радиус кривизны у края оболочки.

Будем также считать, что величина  для любого края оболоч­ки не слишком велика и радиусы кривизны R_l, R₂ изменяются вдоль меридиана достаточно плавно. Естественно предположить, что порядок величины перемещения  выше порядка величины перемещения и.

Положим, что  Тогда главные значения величин, опре­деленных формулами (47) и (48), равны:

                                               (54)

Из этих уравнений следует, что  Поэтому можно считать, что

                                                    (55)

Из соотношения (51) с той же точностью следует

                                                          (56)

Уравнения равновесия (52) и (53) сразу упростить нельзя, так как неизвестен относительный порядок величин . Исключим из этих двух уравнений величину  Умножим уравнение (53) на  и сложим его с уравнением (52). Так как по условию , получим

Умножив последнее уравнение на , получим

                                          (57)

Константа соответствующая продольной силе

                                                      (58)

 

Уравнение для краевого эффекта примет вид

                                                    (59)

Сравним порядки величин меридионального и окружного усилий в краевой зоне.

Следовательно получим

Подставив эту зависимость в выражение (59), получим

Обозначим  =12(1-

                                                   (60)

Для сферической оболочки  и коэффициент  является постоянным большим числом (при

При k=const получаем

                        (61)

Где A,B,C и D - произвольные константы.

Выражение (61) обладает тем свойством, что при каждом дифференцировании оно возрастает в k раз:

Следовательно, это решение удовлетворяет условию малости функции по сравнению с производной.

Рассмотрим затухающую часть выражения (61):

Величины  являются периодическими функциями угловой координаты  - по значению они не больше единицы. При увеличении угла  на период перемещения  уменьшается в  раз, т.е. становится пренебрежимо малой величиной. Длина отрезка меридиана, соответствующая этому периоду, равна

Рассмотрим последовательность расчета осесимметрично нагру­женной оболочки вращения по моментной теории с разделением на­пряженного состояния на безмоментное и краевой эффект.

Сначала по безмоментной теории определяют силы Т_ъ Т₂ и пере­мещения и, w по заданным внешним нагрузкам и граничным условиям для величины Т_х или и. (В выражение для перемещений может входить константа интегрирования, соответствующая перемещению оболоч­ки как твердого тела.)

Затем, решая однородные уравнения краевого эффекта для каж­дого торца, находят общие выражения для величин е₂, Ъ_ХУ М_г и Q_x через соответствующие константы интегрирования (по две константы на каждом торце).

Наконец, составляют граничные условия для каждого торца обо­лочки. Если заданы силовые граничные условия, т. е. величины М_г и Q_l9 то сразу определяют константы интегрирования уравнений крае­вого эффекта. Если заданы геометрические условия, т. е. величины s₂ и то по значениям перемещений и и w безмоментного решения определяют величины е_2о и O_lQ (перемещение оболочки как твердого тела в них не войдет) и составляют суммарные выражения для е₂ и $_г от безмоментного решения и краевого эффекта. Константы ин­тегрирования, входящие в эти выражения, определяют из заданных геометрических граничных условий.

 

 

Расчёт баков

Исходными данными для расчетов на прочность баков являются внеш­ние нагрузки и температурное состояние конструкции.

Баки в различных расченых случаях нагружены: 1) давлением наддува р₀; 2) давлением столба жидкости п_хγН, где п_х — осевая перегрузка; Н и у — соответственно высота столба и удельный вес жидкости; 3) силами реакции соседних отсеков.

В поперечном сечении бака действуют изгибающий момент М, осе­вая сжимающая сила N и перерезывающая сила Q.

От внутреннего давления

Р = р₀ + п_хуН,                               (11.1)

момента М и сил N и Q в обечайке бака возникают меридиональные T ₁, окружные Т₂ и сдвигающие S погонные силы. Их наибольшие зна­чения равны

T ₁ =[ N /(2 πR)± M /(πR ²)- p_oR /2];          (11.2)

T₂ = (p_o+n_xγH)R;                          (11.3)

S = Q/(πR).                               (11.4)

Положительные значения сил T ₁ и Т₂ соответствуют растягивающим напряжениям.

Сдвигающая сила S в расчетах на прочность баков является менее важным фактором. Значения сил  и Т₂ в первую очередь определяет выбор того или иного конструктивного варианта бака и, как показы­вают соотношения (11.2) и (11.3), зависят от давления наддува р₀.

При малых значениях давления наддува меридиональная сила T ₁, возникающая в обечайке корпуса бака, оказывается сжимающей. Сжатая в осевом направлении обечайка может потерять устойчивость. Напряжения, при которых происходит потеря устойчивости обечайки

Гладкого бака, весьма невелики. Для повышения устойчивости обе чайки можно применить панели стрингерной или вафельной конструк­ции. Другой путь — увеличение давления наддува р₀ в баке. Большие давления р₀ приводят к растяжению обечайки вдоль образующей. При этом окружные силы T ₂ по формуле (11.3) оказываются большими. При больших окружных растягивающих усилиях баки целесообразно вы­полнять из высокопрочных материалов. Отсутствие осевого сжатия позволяет делать обечайки неподкрепленными. Давление наддува в них обычно выбирают так, чтобы в осевом на­правлении не возникали сжимающие напряжения от силы N и момента М:

 

(p_oR)/2≥|N/(2πR)|+|M/(πR²)|

 

Суммарные осевые напряжения при этом сравнительно невелики. Однако внутреннее давление создает большие окружные напряжения

σ₂ = (p_o+n_xγH) которые оказываются расчетными (R — радиус обечай­ки бака; h — толщина стенки).

Возможны два вида напряженного состояния обечайки бака: 1) ок­ружная Т₂ и меридиональная 7\ силы — растягивающие (этот слу­чай характерен для такого нагружения баков, когда абсолютные зна­чения первых двух слагаемых правой части формулы (11.2) меньше третьего слагаемого); 2) окружная сила Т₂ растягивающая, а меридио­нальная сила Т_г — сжимающая. В обоих случаях меридиональная сила, как правило, по модулю существенно меньше окружной.

При Т₂ > 0 и T₁ > 0 расчет баков на прочность ведут только от окружных усилий. В проектировочном расчете из условия прочности обечайки в окружном направлении определяют ее толщину, в прове­рочном - при известной толщине определяют рас­четные напряжения σ_р. Эти напряжения должны быть меньше предела прочности материала

σ_р=(T₂/h)f≤σ_В (11.5)

Если баки сжаты в осе­вом направлении (Т₂ > 0; T₁ < 0), то для каждой комбинации сил Т₂ и Т₁ в различных сечениях опре­деляют эквивалентные на­пряжения:

σ_э = (Т₂ – T ₁)/ h, (11.6) а расчетные напряжения находят по формуле а_р = f ст_э. С учетом зна­ка суммарные напряжения здесь будут больше, чем соответствующие окружные. Полученные напряжения при этом должны удовлетворять условию прочности σ_р≤σ_В.

Обечайку бака рассматривают как изотроп­ную оболочку, нагруженную сжимающей силой, изгибающим момен­том и внутренним давлением. Напряжения, соответствующие потере устойчивости такой оболочки,

σ_хл = (k_хлEh)/R,                              (11.7)

где Е — модуль упругости материала оболочки; h — толщина обо­лочки; R —ее радиус; k_хл — коэффициент устойчивости. В практических расчетах коэффициент σ_хл можно представить в форме

σ_хл= k ∙ k_p ∙ k_{M ∙} k_i                            (11.8)

Каждый из коэффициентов в этой формуле отражает влияние опре­деленного фактора: k — влияние начальных несовершенств оболочки; k_p — влияние внутреннего давления; k_M — неравномерность рас­пределения сжимающих напряжений по сечению, возникающих от осевого сжатия и изгиба; k_i — влияние пластических деформаций. Рассмотрим вкратце влияние каждого фактора в отдельности на устой­чивость оболочки.

Влияние начальных несовершенств. Напряжения, соответствующие потере устойчивости оболочки, существенно зависят от начальных несовершенств (начальных неправильностей формы): чем больше от­клонения от идеальной формы, тем ниже критическое напряжение. Практически влияние начальных несовершенств возрастает с умень­шением относительной толщины оболочки h / R. Поэтому коэффициент,

учитывающий влияние Начальных Несовершенств, можно представить как функцию k = k (h / R). Для тщательно изготовленных обечаек баков можно принять

k =0.605-0.545[1-exp(-1/16∙√(R/h))¯]        (11.9)

Так, например, для оболочки, имеющей параметр h / R = 1/500, k =0,2 при h / R = 1/1800, k = 0,1. На рис. 11.4 изображена зави­симость (11.9) и результаты ряда экспериментов [17].

Влияние внутреннего давления.

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что внутреннее давление существенно влия­ет на устойчивость цилиндрической оболочки, нагруженной осевыми силами. Зависимость коэффициента устойчивости от внутреннего дав­ления может быть отражена соотно­шением

K_p=[1+0.21α(R/h)^0.6]/(1+3α)           (11.10)

где α=(pR²⁾/(Eh²)

На рис. 11.5 представлены кри­вые k_p (α) для разных отношений R / h. Существенное увеличение коэффи­циента устойчивости особенно харак­терно для очень тонких оболочек.

Влияние неравномерности распре­деления сжимающих напряжений. Сравнение коэффициентов устойчиво­сти для цилиндрической оболочки,

нагруженной осевой силой и нагруженной изгибающим моментом, показывает, что при одинаковых сжимающих напряжениях устой­чивость оболочки при изгибе примерно на 25 % выше, чем при осевом сжатии. Совместное действие изгибающего момента и осевой силы мож­но учесть коэффициентом

k_M=(1+1.25∙2M/(NR))/(1+2M/(NR))

 

где N и М — соответственно осевая сила с учетом разгрузки от дав­ления и изгибающий момент в сечении; R — радиус обечайки.

Влияние пластических деформаций. Потеря устойчивости большин­ства сжатых и нагруженных внутренним давлением тонкостенных глад­ких оболочек происходит в упругой области при сравнительно низком уровне сжимающих напряжений. Однако в некоторых случаях, при определенном соотношении осевых и окружных напряжений, в обо­лочке могут возникать пластические деформации. Напряжение потери устойчивости оболочки при этом снизится. Потеря устойчивости будет происходить с образованием осесимметричных волн. Критические на­пряжения, полученные по деформационной теории пластичности для цилиндрической оболочки, теряющей устойчивость за пределом упру­гости,

σ_1кр=2/3∙√Е_кЕ_с¯(h/R)           (11.12)

где Е_к и Е_с — соответственно касательный и секущий модули диаграммы растяжения материала обблочки; числовой коэффициент 2/3 получен при условии образования осесимметричной волны, когда ко­эффициент Пуассона μ = 0,5. Для упругой области деформирования E_к = Е_с = Еи уравнение (11.12) имеет вид

σ_кр=2/3∙E(h/R)

Коэффициент, показывающий, во сколько раз напряжения потери устойчивости в пластической области меньше, чем в упругой, при одной и той же деформации, равен

k_i =√ E_kE_c ¯/ E                  (11.13)

Для оболочки, находящейся в двухосном напряженном состоянии, значение коэффициента ki можно найти после определения интенсив­ности напряжений

σ_i =√ σ ₁ ² - σ ₁ σ ₂ + σ ₂ ² ¯                    (11.14)

Предварительно рассмотрим, как определить коэффициент k_i при заданных значениях σ₁ и σ₂. По известной диаграмме растяжения σ_i-ε_i материала оболочки можно построить зависимости Е_к(ε) и Е_с(ε). Для известных напряжений σ₁ и σ₂ по уравнению (11.14) находим зна­чение σ _i   и затем ε_i, по которому определяем модули Е_к и Е_с, и из уравнения (11.13) вычисляем коэффициент k_i. Необходимо иметь в виду, что при осевом сжатии члены под корнем в выражении (11.14) суммируются и σ_хл = -σ₁

На рис. 11.6 построена диаграмма растяжения алюминиевого спла­ва. Здесь же приведены зависимости Е_к(ε) и E_c(ε). Из этих кривых и соотношений (11.13) и (11.14) видно, что растяжение в окружном на­правлении сжатой по оси цилиндрической оболочки вызывает умень­шение критических напряжений в том случае, когда интенсивность напряжений в оболочке выше предела упругости.

Итак, учитывая основные факторы, влияющие на устойчивости цилиндрической обечайки бака, с помощью уравнений (11.9), (11.10), (11.11) и (11.13) можно получить значение коэффициента устойчиво­сти k_хл.

Однако критические напряжения по коэффициенту устойчиво­сти найти сразу не удается, если в оболочке возникают пластические деформации. Обратим внимание на то, что значение самого коэффи­циента k_хл зависит от уровня напряжений. Чтобы определить напря­жения, соответствующие потере устойчивости оболочки, можно вос­пользоваться методом последовательных приближений. В первом при­ближении можно брать коэффи­циент k = 1, т. е. считать, что оболочка работает в упругой об­ласти. Затем по зависимостям (11.7) и (11.8) можно определить критические напряжения σ_хл = -σ₁. Далее при известном давлении находят σ₂ = (pR)/ h и по уравнению (11.14)—интен­сивность напряжений σ_i;. По рис. 11.6 определяют модули Е_к и Е_с, а по уравнению (11.13) — новый коэффициент k_i. Умножив

его на величину k k_pk_M, получают значение коэффициента k_хл вто­рого приближения. Далее находят критические напряжения второго приближения и т. д. Иногда в качестве первого приближения лучше взять k_i = 0,6... 0,8. В ряде случаев это существенно ускоряет рас­чет. Отметим, что теоретической верхней границей коэффициента устойчивости k_хл является величина 0,605. Однако практически не удается получить k_хл > 0,45.

Изложенный метод расчета позволяет приближенно установить зависимости критических напряжений хлопка от различных факторов. Для уточнения расчетов нужно пользоваться результатами экспе­риментов с баками или их моделями.

 

Пример. Обечайка бака гладкой конструкции толщиной h = 3 мм и радиу­сом R = 1500 мм из алюминиевого сплава (Е = 72 000 МПа) нагружена осевой силой N и изгибающим моментом М, причем 2 M /(NR) = 0,2. Требуется опре­делить напряжения, соответствующие потере устойчивости оболочки при р = 0.

Из соотношений (11.9), (11.10), (11.11) для R / h = 500 определяем коэффи­циенты k = 0,2; k_p = 1; k_M = 1,04 и берем ft. = 1. Коэффициент

ft_xjl = kk_pk_Mk_t = 0,2-1-1,04-1 = 0,208. Критическое напряжение хлопка согласно формуле (11.7)

о-_хл = k ^ EhlR = (0,208-7,2.10V500) МПа = 30 МПа.

Далее находим критические напряжения хлопка обечайки бака под давле­нием р и строим зависимость 0_ХЛ = / (р). (Диаграмма растяжения материала ба­ка изображена на рис. 11.6.) По зависимостям (11.9)... (11.11) для h / R = 1/500 при различных давлениях р = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 МПа определяем коэффи­циенты ft_p, k_M, ft_r Затем определяем ст₂ = pR / h. По зависимости (11.7) находим напряжение а_хл, полагая вначале ftj = 1. Затем проверяем, чему равен коэф-

 

 

 

Баки вафельной конструкции

Расчет обечайки бака вафельной конструкции (рис. 11.8, а) состоит в определении напряжений, соответствующих потере устойчивости при действии осевых сил и внутреннего давления. Кроме того, необходи­мо выполнить расчет на прочность различных сечений обечайки.

Расчет на устойчивость. Для проведения расчета на устойчивость и определения напряженного состояния воспользуемся схемой кон­структивно-анизотропной оболочки. При рас­чете по этой схеме считается, что оболочка при растяжении и изгибе в продольном и поперечном напрявлениях имеет один и тот же модуль упругости, но разную толщину. На рис. 11.8, б изображены элементы сечений оболочки. Площади сечений поперечных и продольных под­крепляющих элементов обозначим через

S_ш = b _ш a _ш и S_c = b_ca_c                    (11.16)

Здесь и далее индекс «ш» соответствует поперечным подкреплениям (шпангоутам), а «с» — продольным (стрингерам). Приведенные т олщины оболочки при растяжении в кольцевом и меридиональ­ном направлениях будут соответственно

h_ш = h ₀ + S_m / t _ш, h_c = h ₀ + S_c / t _с,            (11.17)

где h ₀ — толщина обшивки; t_e и t _ш — шаг подкреплений. Подсчитав момент инерции элементов относительно центр а тяжести сечений, мож­но найти приведенные толщины при изгибе 

δ_ш=³√12J_ш/t_ш¯; δ_с=³√12J_с/t_с ¯          (11.18)

При подсчете момента инерции J_c обычно пренебрегают кривизной оболочки.

Эквивалентную толщину h гладкой оболочки, равной по массе оболочке вафельной конструкции, определяют из равенства

ht_ct_ш = h_оt_ct_ш+ S_ct _ш + S_mt_{c +} S _ш t _с,                (11.19)

откуда

h = h _ш + h _с - h₀.                         (11.20)

Для гладкой оболочки площади подкреплений равны нулю (S_ш = S_с = 0) и толщины h _ш =

=h₀= δ_ш = δ_с=h_o. Для вафельной кон­струкции справедливы соотношения δ_ш/δ_c≈h_ш/h_c≈1. Однако величины δ_ш и δ_с, как правило, в несколько раз больше, чем h_ш и h_c:

δ_ш/h_ш»1 и δ_c/h_c» 1.                         (11.21)

Иначе говоря подкрепления в большей степени увеличивают изгибную жесткость, чем жесткость на растяжение.

Будем считать, что деформация и форма потери устойчивости обо­лочки под действием внешних нагрузок осесимметричны.

В § 8.2 приведены уравнения устойчивости цилиндрической обо­лочки. Учитывая обозначения (11.17), (11.18) и полагая коэффициент

Пуассона мало влияющим на деформацию оболочки и поэтому равным нулю, уравнение устойчивости конструктивно-анизотропной оболочки примет вид

E (δ_c ³ /12)(d ⁴ ω / dx ⁴)+ T ₁ (d ² ω / dx ²)+(Eh _ш/ R ²) ω =0    (11.22)

 

Уравнение для изотропной оболочки имеет такую же форму, но коэффициенты. E (δ_c ³ /12) и Eh _ш/ R ² заменяют величинами D и Eh / R ², соответствующими жесткости на изгиб и растяжение изо­тропной оболочки.

При потере устойчивости с формой волнообразования ω = sinλ х, где λ — параметр длины волны, из последнего уравнения можно полу­чить выражение для осевой силы

 T₁= E (δ_c ³ /12) λ ² +(Eh _ш/ R ²)∙1/ λ ²        

Определим критическую силу при осесимметричной форме потери устойчивости оболочки, приравняв нулю производную от T₁ по λ²,

T _кр = E / R √ δ_c ³ h _ш /3¯.                    (11.23)

При этом λ =⁴√12 h _ш (R ² δ_c ³)¯ и длина полуволны оболочки l = π /λ, т. е.

l=π ⁴ √ R ² δ_c ³ /(12 h _ш)¯. Критическая осевая сила равна

N_кр=(2π/√3¯)E√ δ_c ³ h _ш ¯               (11.24)

Для изотропной оболочки эквивалентной толщины h при тех же усло­виях критическая сила равна

T_1кр=√1/3¯(E/R)h²             (11.25)

Эквивалентную по массе толщину h изотропной оболочки, выражен­ную через параметры h ₀, h _ш и h_c, находят по формуле (11.20). Значе­ние критической силы для этой оболочки можно представить в виде

T_1кр= √1/3¯(E/R) (h _ш + h_u - h ₀)²          (11.26)

Эффективность подкреплений может быть отражена коэффициентом fe_Bl, показывающим, во сколько раз критическая сила для вафельной конструкции больше силы для гладкой:

K_в1=√ δ_c ³ h _ш ¯/(h _ш + h_u - h ₀)²                 (11.27)

У вафельной оболочки толщины h_u и h _ш близки по значению друг другу:

h _ш ≈ h _с ≈ (1,2... 1,5) h ₀. Изгибная толщина лежит в пределах δ_с = (2,0... 5,0) h ₀. При этом коэффциент k_в1= 2... 3.

Чтобы оценить, во сколько раз критические напряжения подкреп­ленной конструкции больше, чем гладкой, нужно соотношения (11.23) и (11.25), отнесенные соответственно к h_c и h, поделить друг на друга:

k_в=1/ (h _ш + h_u - h ₀) √ δ_c ³ h _ш / h _с ² ¯                  (11.28)

Расчетное критическое напряжение для вафельной обечайки бака можно представить в форме

σ_хл=k_в∙хлEh/R                        (11.29)

где h - эквивалентная толщина оболочки, определяемая соотношением (11.20):

k_в∙хл=kk_pk_мk_ik_в

Коэффициенты k,k_p,k_м,k_iотражают соответственно влияние на­чальных несовершенств оболочки, внутреннего давления, изгибающего момента и пластических деформаций. Значения этих коэффициентов и зависимость их от соответствующих факторов представлены в § 11.2. Коэффициент k_в устанавливает зависимость напряжения σ_хл от кон­структивных особенностей оболочки и определяется по формуле (11.28). Значение коэффициента k_в∙хл здесь может существенно пре­восходить величину 0,605.

При определении осевых напряжений в оболочке бака предпола­галось, что на сжатие все сечение работает равномерно. Это возможно лишь при отсутствии местных вмятин панелей в ячейках.

В окончательных расчетах следует определять значения местных критических напряжений панели. Напряжения, соответствующие мест­ной потере устойчивости панели между ребрами, определяют по урав­нению

 σ_кр= k _хл Eh_o / R + k _п E (h_o / t_c)²             (11.31)

 

Коэффициент k_хл определяется уравнением (11.8). Для вычисления приближенного значения коэффициента k_хл можно учитывать лишь коэффициенты k и k_p, определяемые по формулам (11.9) и (11.10). Для заделанной по краям квадратной панели (t_c = t_ш) коэффициент k_n = 8,4. При отношении t _ш / t _с ≠ 1 можно использовать коэффи­циент для k_n сжатой в одном направлении плоской пластины, заде­ланной со всех сторон.

Сжатые продольные ребра проверяют на устойчивость. Для пря­моугольных ребер критические напряжения потери местной устой­чивости

σ_кр = 0,9 ∙ 0,46 Е (b_с/а_с)².                 (11.32)

Расчет на прочность. Окружные напряжения для безмоментной Конструктивно-анизотропной оболочки определяются соотношением

σ₂ = рR/h_ш.                              (11.33)

Меридиональные напряжения в обечайке бака

σ₁ = T₁/h_c.                              (11.34)

Это выражение справедливо до момента образования вмятин в ячейках, т. е. до потери местной устойчивости.

Расчет на прочность обечайки бака состоит в определении напряже­ний σ₂ и σ₁ для ряда сечений. По известным окружным и меридиональ­ным напряжениям находят эквивалентные напряжения. Для этого можно воспользоваться условиями

σ_э = σ₂-σ₁ .                                   (11.35)

или

σ_э=√σ₁²-σ₁σ₂+σ₂²¯.               (11.36)

При расчете на прочность баков обычно пользуются уравнением (11.35), из которого находят расчетные напряжения

σ_p=f(σ₂-σ₁),                           (11.37).

где f-коэффициент безопасности. Это уравнение и зависимости (11.33) и (11.34) позволяют в проектировочных расчетах найти приве­денную толщину оболочки, если принять h_c ≈ h _ш.

 

Пример. Обрлочка вафельной конструкции из алюминиевого сплава Е = = 72 000 МПа, имеющая предел упругости Сту = 250 МПа, нагружена осевым сжатием и внутренним давлением р =' 0,3 МПа. Параметры оболочки: радиус R = 1500 мм, шаг подкреплений /_ш = f_c = t = 1200 мм, толщина обшивки Ад = 2,0 мм, высота ребер а_ш — а_с = а = 10 мм, ширина ребер 6_Ш ⁼ Ь_с = = 6=6 мм. Требуется определить расчетные напряжения хлопка оболочки и значение окружного напряжения.

Приведенная толщина оболочки согласно формуле (11.17)

Площадь подкреплений.

Для определения момента инерции нужно найти центр тяжести сечения. Относительно наружной поверхности оболочки координата центра тяжести.

Момент инерции сечения.

Приведенные толщины на изгиб по формуле (11.18).

Эквивалентную по массе толщину оболочки находим по формуле (11.20);

Для оболочки гладкой конструкции с толщиной А = 3 мм в предыдущем параграфе "было определено расчетное напряжение ст_хл = 30 МПа при давлении р = 0; при этом коэффициент fe_xn ⁼ 0,208. Чтобы определить коэффициент устойчивости k_B. хл Для вафельной оболочки, нужно коэффициент £_хл = 0,208 умножить на значение k_B, найденное по формуле (11.28):

VW *            Уб,12з.2,5

(Лш + Л₀-Ло)А_в   (2,5 + 2,5-2)2,5 ⁼ откуда

/г_в.хл=-=£хл£в = 0,208-3,16 = 0,657.

Расчетные напряжения потери устойчивости вафельной обечайки бака об.зл = k_f.^ Eh / R = (0,657-7,2-10V500) МПа = 94,5 МПа,

или в 3,16 раза больше напряжений гладкой оболочки той же массы.

Для эквивалентной по массе гладкой обечайки бака, находящейся под дав­лением р = 0,3 МПа, коэффициент й_хл ⁼ 0,517 (см. § 11.2), Тогда расчетные напряжения потери устойчивости для вафельной обечайки будут

_Ов._хд= k_Kuk_sEh / R = (0,517-3,16-7,2.10*7500) МПа = 235 МПа.

Окружные напряжения в обечайке бака при р = 0,3 МПа определим по зависимости (11.33):

а₃= pR / h_m = (0,3-1500/2,5) МПа = 180 МПа.

>

Схема конструктивно-анизотропной оболочки при расчете на­пряжений в вафельной обечайке бака является приближенной. Для построения уточненных полей напряжений в вафельных ячейках необходимо пользоваться такими более совершенными методами рас­чета, как МКР или МКЭ.

Расчет днищ баков

При расчете на прочность днища рассматриваются как безмомент-ные оболочки вращения, нагруженные осесимметричной нагрузкой. Напряжения от изгиба в местах соединения днища бака е обечайкой и в зоне крепления фланцев, как правило, в расчет не принимаются. Из­готовляют днища обычно из пластических материалов, для которых местный изгиб не является причиной разрушения. В зоне фланцевых соединений люков и трубопроводов происходит перераспределение мембранных напряжений. Расчеты показывают, что фланцы влияют на напряженное состояние лишь локально. Не учитывают также состав­ляющие нагрузки от массы конструкции бака.

При расчете днищ прежде всего необходимо определить внутренние погонные меридиональные T₁ и окружные Т₂ силы.

Определение внутренних сил. Напряженное состояние безмомент-ной оболочки вращения, нагруженной нормальным давлением р_п (р_ө= 0), описывается уравнениями:

(1/R₁)(dT₁/dӨ)+(T₁-T₂)cosӨ/r=0     (11.38)

T₁/R₁+T₂/R₂=p_n                  (11.39)

С помощью этих уравнений найдем окружные и меридиональные силы в днищах различной конфигурации.

1. У сферического днища (рис. 11.9, а) давление на поверхности днища

pn = p = p ₀ + n_xγ [ H + R (cos Ө - cos Ө₀)].    (11.40)

Воспользовавшись очевидными соотношениями для сферы r = Rsin Ө, dr = Rcos Ө d Ө,

R ₁ = R ₂ = R,

после интегрирования уравнения (11.38), учитывая соотношения (11.39) и (11.40), получим

T₁ = [ p ₀ + n_xγ (H-RcosӨ₀)]R/2- n_xγ R²(cos³Ө/3sin²Ө)+C.

Постоянная С определяется из условия конечного значения силы T₁ в полюсе оболочки при Ө=0. Тогда выражение для меридиональной силы в сферическом днище будет следующим:

 T₁=p₀R/2+n_xγHR/2[1+R/H(2/3∙ (1-cos³Ө/sin²Ө)-cosӨ₀)] (11.41)

 

Окружная сила находится из уравнения (11.39)

Т₂ = p₀R/2+ n_xγHR/2 [1+R/H(2cosӨ-cosӨ0-2/3∙ (1-cos³Ө/sin²Ө))]   (11.42)

 

Окружные и меридиональные силы имеют максимальные значе­ния в полюсе при Ө= 0; при этом член в круглых скобках выражения (11.41) стремится к единице:

T_1max=T_2max= p₀R/2+ n_xγHR/2[1+R/H(1-cosӨ₀)]   (11.43)

В месте сопряжения днища с кольцом при Ө=Ө₀ меридиональная сила

T_1o= p₀R/2+ n_xγHR/2[1+R/H(2/3∙ (1-cos³Ө/sin²Ө)-cosӨ₀] (11.44)

а радиальная составляющая, сжимающая кольцо в его плоскости (рис. 11.9, в),

q= Т_1o cos Ө₀.                               (11.45)

В сферическом днище, изображенном на рис. 11.9, б, силы T₁ и Т₂ оп­ределяют в той же последовательности, что и в предыдущем случае:

 T₁= - p₀R/2- n_xγHR/2[1-R/H(2/3∙ (1-cos³Ө/sin²Ө)-cosӨ₀]      (11.46)

 T₂= - p₀R/2- n_xγHR/2[1-R/H(2cosӨ-cosӨ0 - 2/3∙ (1-cos³Ө/sin²Ө)]               (11.47)

Если днище выполняет роль перегородки между двумя баками, во всех соотношениях давление наддува р₀ следует заменить перепадом давлений Δp.

2. У конического днища (рис. 11.10) давление на оболочку рас­пределено по закону

P = Po + n_x γ H (1+(R - r)/ H ∙ tg Ө].           (11.48)

 

Из уравнений (11.38) и (11.39) определяют меридиональную и окруж­ную силу:

T₁=p₀r/(2sinӨ) + (n_x γ H /( 2sinӨ ))∙ r [1+ (R/H-2/3∙ r/H)tgӨ ]        (11.49)

T₂=p₀r/(sinӨ) + (n_x γ H /( sinӨ ))∙ r [1+ (R/H- r/H)tgӨ ]       (11.50)

Сила, приложенная к кольцу крепления днища, определяется со­отношениями, (11.45) и (11.49), куда вместо угла 8 нужно подставить

Ө₀.

3. У торообразного днища различают меридиональный R ₁ = R и окружной R₂=R+r₀/sin Ө радиусы кривизны. Закон распре­деления давления по углу Ө определяется соотношением (11.40).

Интегрируя уравнение (11.38) и используя условие ограниченности си­лы при Ө = 0, получаем выражение для меридиональной силы:

 

T₁=p₀R[(r_o+(R/2)sinӨ)/(r_o+RsinӨ)]+[(n_xγHR²)/(r_o+RsinӨ)] ∙ [r₀/R(1-((R/H))cosӨ₀)+

 

+(r₀/2H)∙Ө/sinӨ+r₀cosӨ/2H+(1/2)sinӨ(1-(R/H)cosӨ₀)+ (R/3H)/((1-cos³Ө)/sin²Ө)]    (11.51)

 

Окружную силу находят из уравнения (11.39):

 

T₂=p₀R/2+ n_xγHR∙1/2[(1-((R/H))cosӨ₀) +(r₀/H)∙(Ө/sin²Ө)∙(sinӨcosӨ-Ө)+

 

+(2R/H)cosӨ-(2R/3H)(1-cos³Ө)/sin²Ө)]   (11.52)

Основы теории оболочек вращения

Оболочка - тонкостенная конструкция, с постоянной толщиной.

Основным геометрически понятием теории оболочек постоянной толщины являются понятия срединной поверхности и слоя оболочк