Ортогональное проецирование плоскости

Плоскость в пространстве и на чертеже может быть задана следующими способами:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой - a (АВС); b (DEF).

2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой - a (АВ, С); b (m, E).

3. Двумя параллельными прямыми - a (АВ || С D); b (m || n).

4. Двумя пересекающимися прямыми a (АВ Ç С D); b (m Ç n).

5. Плоской кривой - a (č); b (ň).

Здесь показаны варианты обозначения плоскостей a и b, заданных указанными способами.

5.1. Расположение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость общего положения - э то плоскость (рис. 22) неперпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (П₁, П₂ или П₃). Форма и размеры геометрической фигуры (например, треугольника АВС), задающей такую плоскость на чертеже искажаются.

Плоскости проецирующие – перпендикулярные к одной из плоскостей проекций (рис. 23-25). На указанную плоскость проекций плоскость отображается вырожденно – в виде прямой.

Определение. Вырожденной проекцией плоскости называется прямая ортогонального чертежа, где отобразились все точки этой плоскости (собирательное свойство вырожденной проекции плоскости).

Положение на ортогональном чертеже вырожденной проекции обозначается утолщёнными штрихами с надписью, например, a₁ или b₂. Углы наклона вырожденной проекции плоскости к координатным осям определяет наклон плоскости к соответствующей плоскости проекций (см. на рис. 23, 24 углы j, y, q).

Различают горизонтально проецирующие, фронтально проецирующие и профильно проецирующие плоскости (рис. 23-25).

Проецирующая плоскость, проходящая через координатную ось, называется осевой. Если осевая плоскость делит пополам прямой двугранный угол, образованный плоскостями проекций, то такая плоскость называется биссекторной (см. рис. 25).

Плоскости уровня – это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций (рис. 26 и 27). На эту плоскость проекций любая геометрическая фигура, задающая плоскость отображается неискажённо (в натуральную величину). По отношению к двум другим плоскостям проекций плоскости уровня перпендикулярны (т. е. это дважды проецирующие плоскости). Различают горизонтальную, фронтальную и профильную плоскости уровня.

 

5.2. Прямая и точка, расположенные в плоскости

Определение 1. Точка расположена в плоскости, если она лежит на какой-либо прямой этой плоскости.

Определение 2. Прямая расположена в плоскости, если она проходит:

 а) через две точки, лежащие в этой плоскости;

 б) через точку, лежащую в этой плоскости, параллельно линии, принадлежащей этой же плоскости.

На основании этих определений строятся недостающие проекции точки и линии, лежащих в плоскости. Например, требуется построить (рис. 28) проекции отрезка АВ Ì a (m Ç n), если точки заданы лишь одной своей проекцией, например, А(А₂),В(В₁). Другими словами нужно построить недостающие проекции (А₁ и В₂) точек А и В.

  Алгоритм построения:

1. l (l₂) ' A(A₂);

l₂ проводим произвольно.

2. l₁ = 1₁- 2₁;

3. А₁ Î l_1;

4. Строим А₁ В₁, а затем

   3 (3₁) =  А₁ В₁ Ç n₁;

5. В₂ Î А₂ 3₂;

6. А₂ В₂;

Пример. Построить А₂В₂С₂ D₂    фигуры ABCD (А₁В₁С₁ D₁) Ì a (h Ç f).

Построение: 1. Отрезок С B (С₁В₁) продолжим в обе стороны до пересечение его с линиями f и h в точках 1 и 2 соответственно. Далее по линиям связи строим С₂ B₂ Ì 1 ₂ 2 ₂.

2. Аналогично строим A₂ D₂ çç В₂ D₂.

Главные линии плоскости

К главным линиям плоскости относятся прямые, лежащие в плоскости и параллельные одной из плоскостей проекций, а также линии наибольшего наклона (ЛНН) к  этим плоскостям проекций.

При решении позиционных и метрических задач на плоскости обычно используются следующие главные линии плоскости: горизонталь, фронталь плоскости, а также ЛНН к плоскостям проекций П₁ и П₂. Таких линий можно построить на чертеже множество.

Горизонталь (h) плоскости (рис. 30) – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (П₁). Для построения горизонтали плоскости общего положения используют ЭОП горизонтальных прямых: h₂ || 0х.

Фронталь (f) плоскости (см. рис. 30) – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (П₂). Для построения фронтали плоскости общего положения используют ЭОП фронтальных прямых: f₁ || 0х.

ЛНН к плоскости проекций П₁ (по-другому именуемая линией ската)– это линия плоскости, перпендикулярная к горизонталям плоскости и определяющая угол наклона этой плоскости к плоскости проекций П₁ (см. на рис. 30 прямую АВ и угол j).

Свое название (ЛНН) такая прямая получила потому, что из множества (пучка) прямых, проведенных через точку А на плоскости a, именно такая прямая имеет наибольший угол (j) наклона к плоскости проекций П₁. Линией ската такая прямая называется потому, что тело (например, шарик), помещённое в точку А и предоставленное самому себе, под воздействием силы тяжести будет перемещаться (скатываться) в плоскости a  по прямой АВ.

ЛНН к плоскости П₂ – это линия плоскости, перпендикулярная к фронталям плоскости и определяющая угол наклона плоскости к плоскости проекций П₂.