Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рассмотрим, как интегрируются простейшие (элементарные) рациональные дроби.

Интегрирование элементарной дроби вида 1) .

Для того чтобы вычислить интеграл от элементарной дроби  ,достаточно подведения единицу под знак дифференциала :

.

Интегрирование элементарной дроби вида 2) .

Учитывая, что  имеем:

.

 

Замечание: Интегралы от элементарных дробей  привести к табличным и другим способом, с помощью замены  ,просто это займет немного больше времени. Покажем, как это работает:

1) ;

2)

= .

 

Пример 3. 1. Вычислить интеграл: а) ;б)

Решение.

а) 1способ (подведение функции под знак дифференциала)

Учитывая, что  имеем:

;

2 способ (замена переменной)

Сделав замену переменной  имеем:

;

б) 1 способ (подведение функции под знак дифференциала)

Для начала преобразуем подынтегральную функцию-выделим полный квадрат и заметим, что перед нами простейшая рациональная дробь второго вида, приведём его к табличному виду путем подведения единицы под знак дифференциала:

;

2 способ (замена переменной)

.

 

Интегрирование  элементарной дроби вида  3)  .

Дробь третьего вида  интегрируется   следующим образом:

Для начала преобразуем подынтегральную функцию-выделим полный квадрат в знаменателе

,так как по условию квадратный трёхчлен  не имеет вещественных корней, то ,обозначим , далее применяем к преобразованному интегралу замену

. Последним этапом необходимо вернуться к старой переменной, сделайте это самостоятельно.

Рассмотрим, как это сделать на примерах.

Пример 3.2. Вычислить интеграл: а) ;б)

Решение.

б) Повторяя аналогичный алгоритм решения имеем:

 

 

.

Замечание: Интегралы от рациональных дробей третьего вида , можно решить  и другим способом-методом подведения функции под знак дифференциала(как мы это делали ранее). Для этого необходимо выделить в знаменателе полный квадрат, выражение в скобках будет новой переменной, относительно которой исходный интеграл сводится к табличному виду. Покажем, как это сделать на следующем примере.

Пример 3.3. Вычислить интеграл .

Решение.

.

 

Интегрирование простейших дробей  вида 4) .

 

Интегрирование простейших дробей четвертого вида   является довольно громоздким, требующим более сложных вычислений.

Рассмотрим частный случай при .

Тогда интеграл вида   можно путем выделения в знаменателе полного квадрата

 

,где   и замены

, представить в виде  и получить для него рекуррентную формулу. Для этого применим к интегралу формулу интегрирования по частям:

 

Учитывая, что  получим:

Находим из последнего равенства :

(3.2)

Получили рекуррентнуюформулу, позволяющую вычислить интеграл , если мы знаем интеграл .

Рассмотрим теперь интеграл от элементарной дроби четвёртого вида в общем случае, то есть интеграл :

 

=

 

Итак,

 

Далее к полученному интегралу  применяется  рекуррентная формула (3.2).

Рассмотрим на практике интегрирование простейшей дроби четвертого типа.

 Пример 3.4. Вычислить интеграл  .

Решение.

Здесь .Согласно формуле

в нашем случае ,поэтому имеем:

,где

Таким образом, .

Пример 3.5. Вычислить интеграл .

Решение.

 

;

Далее к интегралу , где

  применяется рекуррентная формула

, где

        Возвращаясь к старой переменной имеем:

        Возвращаясь к исходному интегралу, окончательно имеем:

 

Замечание: B рациональных дробях вида , при можно обойтись и без рекуррентной формулы (3.2), преобразовав подынтегральное выражение и применив формулу интегрирование по частям. Рассмотрим, как это сделать на примере 3.6.

 

Пример 3.6. Вычислить интеграл  

Решение.

 

 

Проинтегрируем отдельно :

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим: