Вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.

Рассмотрим ситуацию, когда функция задана в параметрическом виде

Рис.10

Если криволинейная трапеция ограничена кривой заданной параметрически , , прямыми  и осью , то её площадь вычисляется по формуле

)

,где  и определяются из равенств и

при некотором вполне конкретном значении параметра параметрические уравнения будут определять координаты точки A, а при другом значении координаты точки B.

Действительно, сделав подставку и  в формуле (5.3),учитывая, что  , получим:

  .

Пример 5.3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой заданой параметрически .

Решение.

Для построения фигуры, заданной параметрически, составим таблицу значений координат  точек кривой, соответствующих различным значениям параметра .

Нанесем точки  на координатную плоскость XOY и соединим их линией. Когда параметр изменяется от 0 до , соответствующая точка описывает арку циклоиды (рис.10)

Рис. 10

Согласно формуле (5.5) получим:

=

Таким образом, площадь одной арки циклоиды  равна:

.

По сути, мы вывели формулу для нахождения площади одной арки циклоиды в общем виде. И если на практике вам встретится задача с конкретным значением параметра , то вы легко сможете выполнить проверку. Так например при ,

 

Замечание: В некоторых случаях, при нахождении площади фигуры,ограниченной функцией  заданной в декартовой системе координат, удобно переходить к  параметрическому заданию данной линии,то есть, представить функциональную зависимость через параметр (все эти функции хорошо изучены).Например, при вычислении площади эллипса заданного уравнением , разрешая уравнение относительно ,получим  , вычисление интеграла от данной функции довольно громоздко, поэтому целесообразно перейти  к параметрическому заданиюэллипса.

 

Пример 5. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение.

Перейдём к параметрическому заданию эллипса . Известно, что эллипс задается параметрически уравнением

где  полуоси эллипса, в нашем случае следовательно исходное  уравнение в параметрическое форме имеет вид

Действительно, если составить таблицу значений координат  точек кривой, соответствующих различным значениям параметра :

 

Нанести точки  на координатную плоскость XOY и соединить их линией. Когда параметр изменяется от 0 до , соответствующая точка описывает эллипс с полуосями (рис.11).

Рис. 11

 

Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей, найдем площадь четвертой части эллипса  ,здесь  изменяется от 0 до
, при этом  изменяется от  до 0. Согласно формуле (5.5) получим:

Таким образом, площадь всей фигуры равна:

.

 

Вычисление площадей фигур заданных в полярной системе координат.

Для нахождения площадей ограниченных кривыми заданных в полярной системе координат нам пригодятся навыки построения графиков функций в данной системе координат, поэтому необходимо вспомнить, что же такое полярная система координат.

Полярная система координат и криволинейный сектор.

Любая точка   в полярной системе координат   определятся с помощью полярных координат  , где  – расстояние от начала координат  (полюса) до точки ,  – угол между положи­тель­ным направ­лением действительной оси и(движемся против часовой стрелки) радиус-вектором точки  (рис. 12).

 

Рис. 12

 Формулы перехода от декартовой системы координат к полярной системе координат: , ;

Рассмотрим некоторую функцию заданную в полярной системе координат принимающую неотрицательные значения на отрезке   , где

- длина радиус – вектора, соединяющего полюс O с произвольной точкой кривой , а  - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси Op.

 В полярной системе может быть задан криволинейный сектор или сегмент.

Рис.13

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами

  и некоторой линией , которая непрерывна на отрезке    (рис. 13).

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

 

(5. 6)

Рис.14

Сегмент- это фигура, ограниченная кривыми 

 и

лучами    (рис.14).

Площадь сегмента может быть найдена по формуле

(5. 7)

Пример 5.5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой .

Решение.

Известно, что уравнение  задает кривую в полярных координатах, которая называется спиралью Архимеда. В нашем случае , изобразим фигуру- отметим полюс, изобразим полярную ось Ор, начертим угловые направления  (рис.15).Отметим  найденные точки   и соединим их линией (рис. 16):

	0
	0

 

Рис.15	Рис.16

 

Площадь полученного сектора находим по формуле (5.6):

.

Замечание: Если в условии не указан диапазон значений угла, то либо этот диапазон совпадает с областью допустимых значений функции ,либо принимается равным отрезку .

Пример 5.6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

Решение.

Поскольку чётная функция,действительно, а как известно, четная функция симметрична относительно оси  ,поэтому достаточно построить половину фигуры на промежутке

 

	0
	0

Оставшуюся половину отображаем симметрично относительно оси (рис.17)

 

Рис. 17

Поскольку фигура симметрична относительно оси  , по формуле (5.6) для начала найдем половину площади  

 

Таким образом, .

Рис.18

Пример 5.7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение.

Посмотрим как это выглядят заданные линии ,  в декартовой системе координат, для этого сделаем подстановку :

   ;   

   .          

Получили окружности с центром в начале координат и радиусами 1,3 соответственно. Построим данные линии, учитывая, что угол изменяется от
 до (рис.18), получили сегмент, его площадь находим по формуле (5.7):

.

 

5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой

Помимо нахождения площади, определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой, то есть числовую характеристика протяжённости этой кривой.

Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев, при этом длина наибольшего звена стремиться к нулю.