Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.
Рассмотрим ситуацию, когда функция задана в параметрическом виде Рис.10 Если криволинейная трапеция ограничена кривой заданной параметрически , , прямыми и осью , то её площадь вычисляется по формуле ) ,где и определяются из равенств и при некотором вполне конкретном значении параметра параметрические уравнения будут определять координаты точки A, а при другом значении координаты точки B. Действительно, сделав подставку и в формуле (5.3),учитывая, что , получим: . Пример 5.3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой заданой параметрически . Решение. Для построения фигуры, заданной параметрически, составим таблицу значений координат точек кривой, соответствующих различным значениям параметра . Нанесем точки на координатную плоскость XOY и соединим их линией. Когда параметр изменяется от 0 до , соответствующая точка описывает арку циклоиды (рис.10) Рис. 10 Согласно формуле (5.5) получим: = Таким образом, площадь одной арки циклоиды равна: . По сути, мы вывели формулу для нахождения площади одной арки циклоиды в общем виде. И если на практике вам встретится задача с конкретным значением параметра , то вы легко сможете выполнить проверку. Так например при ,
Замечание: В некоторых случаях, при нахождении площади фигуры,ограниченной функцией заданной в декартовой системе координат, удобно переходить к параметрическому заданию данной линии,то есть, представить функциональную зависимость через параметр (все эти функции хорошо изучены).Например, при вычислении площади эллипса заданного уравнением , разрешая уравнение относительно ,получим , вычисление интеграла от данной функции довольно громоздко, поэтому целесообразно перейти к параметрическому заданиюэллипса.
Пример 5. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом . Решение. Перейдём к параметрическому заданию эллипса . Известно, что эллипс задается параметрически уравнением где полуоси эллипса, в нашем случае следовательно исходное уравнение в параметрическое форме имеет вид Действительно, если составить таблицу значений координат точек кривой, соответствующих различным значениям параметра :
Нанести точки на координатную плоскость XOY и соединить их линией. Когда параметр изменяется от 0 до , соответствующая точка описывает эллипс с полуосями (рис.11). Рис. 11
Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей, найдем площадь четвертой части эллипса ,здесь изменяется от 0 до Таким образом, площадь всей фигуры равна: .
Вычисление площадей фигур заданных в полярной системе координат. Для нахождения площадей ограниченных кривыми заданных в полярной системе координат нам пригодятся навыки построения графиков функций в данной системе координат, поэтому необходимо вспомнить, что же такое полярная система координат. Полярная система координат и криволинейный сектор. Любая точка в полярной системе координат определятся с помощью полярных координат , где – расстояние от начала координат (полюса) до точки , – угол между положительным направлением действительной оси и(движемся против часовой стрелки) радиус-вектором точки (рис. 12).
Рис. 12 Формулы перехода от декартовой системы координат к полярной системе координат: , ; Рассмотрим некоторую функцию заданную в полярной системе координат принимающую неотрицательные значения на отрезке , где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс O с произвольной точкой кривой , а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси Op. В полярной системе может быть задан криволинейный сектор или сегмент.
Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами и некоторой линией , которая непрерывна на отрезке (рис. 13). Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
(5. 6)
Сегмент- это фигура, ограниченная кривыми и лучами (рис.14). Площадь сегмента может быть найдена по формуле (5. 7) Пример 5.5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой . Решение. Известно, что уравнение задает кривую в полярных координатах, которая называется спиралью Архимеда. В нашем случае , изобразим фигуру- отметим полюс, изобразим полярную ось Ор, начертим угловые направления (рис.15).Отметим найденные точки и соединим их линией (рис. 16):
Площадь полученного сектора находим по формуле (5.6): . Замечание: Если в условии не указан диапазон значений угла, то либо этот диапазон совпадает с областью допустимых значений функции ,либо принимается равным отрезку . Пример 5.6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой . Решение. Поскольку чётная функция,действительно, а как известно, четная функция симметрична относительно оси ,поэтому достаточно построить половину фигуры на промежутке
Оставшуюся половину отображаем симметрично относительно оси (рис.17)
Рис. 17 Поскольку фигура симметрична относительно оси , по формуле (5.6) для начала найдем половину площади
Таким образом, .
Пример 5.7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Решение. Посмотрим как это выглядят заданные линии , в декартовой системе координат, для этого сделаем подстановку : ; . Получили окружности с центром в начале координат и радиусами 1,3 соответственно. Построим данные линии, учитывая, что угол изменяется от .
5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой Помимо нахождения площади, определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой, то есть числовую характеристика протяжённости этой кривой. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев, при этом длина наибольшего звена стремиться к нулю.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-27; просмотров: 437; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.28.237 (0.05 с.) |