Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Усеченная призма может быть получена из не усеченной призмы с помощью неперпендикулярного сечения. ( Рис.2 ).

Для полной характеристики призмы и умения ориентироваться в ее строении, рассмотрим:

Основные свойства призмы (см. Рис.1, Рис.2)

 

1. Основания призмы:

- это равные многоугольники, если призма не является усеченной;

- это не равные многоугольники, если призма является усеченной.

 

2. Боковые грани призмы:

- это параллелограммы, если призма не является усеченной;

- это трапеции, если призма является усеченной.

3. Боковые ребра призмы:

- параллельны и равны между собой, если призма не является усеченной;

- параллельны, но не равны между собой, если призма является усеченной.

 

4. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.

Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах

 

5. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

 

6. Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.

 

7. В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Вопрос 2. Характеристика некоторых видов призм

1. Наклонная треугольная призма АВСА₁В₁С₁

 

Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

АВС и А₁В₁С₁ – основания призмы.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – боковые ребра призмы.

Объемная геометрическая фигура АВСА₁В₁С₁ – это треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

2) Треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║ А₁B₁C (α ║ β).

3) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ – параллельны.

Если из произвольной точки Н₁ одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН₁ на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

В нашем случае боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

Если опустить из вершины А₁ перпендикуляр А₁Н на АВС, то этот перпендикуляр так же как и НН₁ будет высотой призмы.

Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА₁ на плоскость АВС.

Тогда угол между прямой АА₁ и плоскостью АВС – это уголмежду прямой АА₁ и её АН проекцией на плоскость, то есть это угол А₁АН.

В данном случае высоты (перпендикуляры) НН₁ и А₁Н не параллельны боковым ребрам призмы АА₁, ВВ₁, СС₁, а значит, боковые ребра не перпендикулярны основаниям.

Из определения знаем, что если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – призма называется наклонной.

Вывод: На рисунке представлена и нами рассмотрена наклонная треугольная призма.

2. Прямая треугольная призма АВСА₁В₁С₁

 

Из определения знаем, что призма, боковые ребра которой перпендикулярны к основаниям, называется прямой призмой.

 

Представленная на рисунке призма – прямая, так как ее боковые ребра, (как указано на схеме) перпендикулярны основаниям.

- Боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ – перпендикулярны плоскостям АВС и А₁В₁С₁.

- Каждое из боковых ребер призмы: АА₁, ВВ₁, СС₁, – являются высотой этой призмы.

Заметим, что все боковые грани:

АА₁В₁В, В₁ВС₁С, АА₁С₁С, – перпендикулярны к основаниям АВС и А₁В₁С₁, так как основания проходят через перпендикуляры АА₁, ВВ₁, СС₁ к верхнему и нижнему основаниям призмы.

3. Прямая четырехугольная призма

 

Охарактеризуем четырехугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁:

1) Основаниями призмы являются четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁.

2) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A₁B₁C₁D₁, что запишем аналитически: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

3) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β, отсюда следует, что ABC ║ А₁B₁C (α ║ β).

4) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

5) Так как основания призмы параллельны, боковые ребра также параллельны, отсюда следует, что все боковые ребра равны друг другу: АА₁=ВВ₁=СС₁=DD₁.

6) Линия АС₁ является диагональю данной призмы, так как в соответствии с определением, является отрезком, соединяющим две вершины призмы А и С₁, не принадлежащие одной грани.

Если боковые ребра призмыперпендикулярны плоскостям оснований, значит, представленная призма является прямой.

4. Параллелепипед – является частным случаем четырехугольной призмы

Параллелепипед – это призма, основанием которой является параллелограмм.

 

● Рассмотрим прямоугольный параллелепипед – это прямая призма, основанием которой является прямоугольник и все грани являются прямоугольниками.

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, три измерения – это длины трёх рёбер DA, DC, DD₁, имеющих общую вершину – D.

Свойства прямоугольного параллелепипеда: