Предикаты и операции над ними

Введем основное понятие данной главы.

Определение. Пусть М – непустое множество. Тогда nместным предикатом, заданным на М, называется выражение, содержащее n переменных и обращающееся в высказывание при замене этих переменных элементами множества М.

Рассмотрим примеры. Пусть М есть множество натуральных чисел N. Тогда выражения “ x – простое число”, “ x – четное число”, “ x больше 10” являются одноместными предикатами. При подстановке вместо x натуральных чисел получаются высказывания: “2 – простое число”, “6 – простое число”, “3 – четное число”, “5 больше 10” и т.д. Выражения “ x больше y ”, “ x делит y нацело”, “ x плюс y равно 10” являются двухместными предикатами. (Конечно, последнее выражение можно было записать и так: “ x + y =10”.) Примеры трехместных предикатов, заданных на множестве натуральных чисел: “число z лежит между x и y ”, “ x плюс y равно z ”, “| x – y | ≤ z ”.

Будем считать, что высказывание есть нульместный предикат, то есть предикат, в котором нет переменных для замены.

Надо отметить, что местность предикатов не всегда равна числу всех переменных, содержащихся в выражении. Например, выражение “существует число x такое, что y = 2 x ” на множестве натуральных чисел определяет одноместный предикат. По смыслу этого выражения в нем можно заменять только переменную y. Например, замена y на 6 дает истинное высказывание: “существует число x такое, что 6 = 2 x ”, а замена y на 7 дает ложное (на множестве N) высказывание: “существует число x такое, что 7 = 2 x ”.

Предикат с заменяемыми переменными x ₁, …, x_n будет обычно обозначаться заглавной латинской буквой, после которой в скобках указаны эти переменные. Например, P (x ₁, x ₂), Q (x ₂, x ₃), R (x ₁). Среди переменных в скобках могут быть и фиктивные.

На совокупности всех предикатов, заданных на множестве М, вводятся знакомые операции конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация и эквиваленция. Эти операции вводятся довольно очевидным образом. Приведем в качестве примера определение конъюнкции предикатов.

Определение. Предикат W (x ₁, …, x_n) называется конъюнкцией предикатов U (x ₁, …, x_n) и V (x ₁, …, x_n), заданных на множестве M, если для любых а ₁, …, a_n из М высказывание W (a ₁, …, a_n) есть конъюнкция высказываний U (a ₁, …, a_n) и V (a ₁, …, a_n).

Легко по аналогии привести определения и других упомянутых выше операций.

В логике предикатов первого порядка вводятся и две новые операции. Называются они навешиванием квантора общности и навешиванием квантора существования. Эти операции рассмотрим вначале на примерах. Пусть дано выражение “существует x такой, что x + y = 10”. На множестве натуральных чисел это предложение определяет одноместный предикат P (y), так Р(2) и Р(9) – истинные высказывания, Р(11) – ложное. Если обозначить предикат “ x + y = 10” через S (x, y) (а это предикат двухместный), то P (y) можно записать так: “существует х такой, что S (x, y)”. В этом случае говорят, что предикат P (y) получен из предиката S (x, y) навешиванием квантора существования на x и пишут P (y) = (∃ x) S (x, y). Рассмотрим другой пример. Выражение “для всех х справедливо, что y ≥ –х²” определяет на множестве целых чисел одноместный предикат Q (y). Если предикат “ y ≥ –х²” обозначить через T (x, y), то Q (y) можно записать так: “для всех x справедливо T (x, y)”. В таком случае говорят, что предикат Q (y) получен из предиката T (x, y) навешиванием квантора общности на х и пишут Q (y) = (∀ x) T (x, y).

После этих примеров нетрудно дать определение в общем виде.

Определение. Пусть P (x ₁, …, x_n) – предикат, заданный на множестве M, y – переменная. Тогда выражение “для всякого y выполняется P (x ₁, …, x_n)” – предикат, полученный из P навешиванием квантора общности на переменную y, а выражение “существует y такой, что выполняется P (x ₁, …, x_n)” – предикат, полученный из P навешиванием квантора существования на переменную y.

Обозначения этих операций были введены выше.

Заметим, что в определении не требуется, чтобы переменная y была одной из переменных x ₁, …, x_n, хотя в содержательных примерах, которые будут приведены ниже, квантор будет навешиваться на одну из переменных x ₁, …, x_n. Указанное требование не налагается в определении, чтобы избежать усложнения определения формулы логики предикатов. Если y – одна из переменных x ₁, …, x_n, то после навешивания квантора на переменную y новый предикат является (n –1)-местным, если же y ∉ { x ₁, …, x_n }, то местность нового предиката равна n.

Если предикат W (x ₁, …, x_n) получен из предикатов U (x ₁, …, x_n) и V (x ₁, …, x_n) с помощью связок, то истинность высказывания W (a ₁, …, a_n) определяется таблицами истинности этих связок. Пусть W (x ₁, …, x_n) = (∀ y) U (x ₁, …, x_n, y). Тогда высказывание W (a ₁, …, a_n) истинно тогда и только тогда, когда для любого b ∈ M истинно высказывание U (a ₁,

…, a_n, b). Если же W (x ₁, …, x_n) = (∃ y) U (x ₁, …, x_n, y), то высказывание W (a ₁, …, a_n) истинно в том и только в том случае, когда найдется b ∈ M, для которого высказывание U (a ₁, …, a_n, b) истинно.

Понятие предиката – весьма широкое понятие. Это видно уже из приведенных выше примеров. Расширим запас таких примеров, показав, что n -местная функция может рассматриваться как (n +1)-местный предикат. Действительно, функции y = f (x ₁, …, x_n), заданной на множестве M, можно поставить в соответствие выражение “ y равно f (x ₁, …, x_n)”. Это выражение есть некоторый предикат P (x ₁, …, x_n, y). При этом, если элемент b есть значение функции в точке (a ₁, …, a_n), то высказывание P (a ₁, …, a_n, b) истинно, и обратно. (Подобное “превращение” функции в предикат мы уже делали выше для сложения натуральных чисел.)

На предикаты можно смотреть и более формально, причем с двух точек зрения.

Во-первых, предикат можно представить отношением следующим образом. Пусть предикат P (x ₁, …, x_n) задан на множестве M. Рассмотрим прямую степень этого множества Mⁿ = M × M ×…× M и подмножество D_p множества Mⁿ, определяемое равенством:

D_p = {(a ₁, …, a_n)∈ Mⁿ ⏐высказывание P (a ₁, …, a _n) истинно}.

Отношение D_p можно назвать областью истинности предиката P. Во многих случаях предикат P можно отождествить с отношением D_p. При этом, правда возникают некоторые трудности при определении операций над отношениями, аналогичных операциям над предикатами.

Во-вторых, предикат P (x ₁, …, x_n), заданный на M, можно отождествить с функцией f_p: Mⁿ →{0, 1}, определяемой равенством

1, если P (a ₁, …, a_n) истинно, 

f_p (a ₁, …, a_n) = 

0 в противном случае.

Мы, в основном, будем понимать термин “предикат” в смысле исходного определения, т.е. как языковое выражение. Связано это с тем, что одной из главных целей, как уже отмечалось во введении, является изучение выразительных возможностей логики первого порядка, возможности представления средствами этой логики информации, выраженной на естественном (скажем, русском) языке.