Применение производной при решении задач в разных науках

 

Задачи по геометрии

 

По аналитической геометрии

Пример 8. Найти угол между касательной к графику функции  в точке  и осью .

Решение. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой  в точке , т.е. значение производной этой функции при .

Производная функции  равна . По формуле  находим , откуда .

Пример 9. Найти уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Решение. Значение функции  и ее производной в точке  равны: . Используя формулу , найдем искомое уравнение касательной:

 или .

Пример 10. Доказать, что касательная к параболе  в точке с абсциссой  пересекает ось  в точке .

Решение. Пусть , тогда  и .По формулу  находим уравнение касательной:

.

Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Из равенства  находим .

Пример 11. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой  в точках

Решение. Имеем ; следовательно,

 

По дифференциальной геометрии

Пример 12. Найти геодезическую кривизну винтовой линии , лежащей на прямом геликоиде

, , .

Решение. Запишем формулу для вычисления :

 

.

, ,

.

 

Положим , тогда , . Применяя формулу для вычисления , получим

 

.

 

Пример 13. Для кривой , ,  составить уравнение касательной, главной нормали, бинормали в точке .

Решение. Проверим, лежит ли точка  на кривой:

 

.

 

Точка  лежит на кривой и соответствует значению параметра .

Напишем уравнение кривой в векторном виде: . Тогда , .

В точке : , .

Уравнение касательной в точке  имеет вид:

 

.

Найдем уравнение бинормали, ее направляющий вектор коллинеарен вектору .

 

,

 

уравнение бинормали. Найдем направляющий вектор главной нормали:

 

.

 

Главная нормаль задается уравнением .

Пример 14. Найти длину дуги одного витка кривой:

 

, ,  (где ) между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью .

Решение. Данная кривая пересекает плоскость , если . Отсюда следует, что ;  и - значения параметра  между двумя соседними точками пересечения с плоскостью .

Тогда

 

,

, , ,

.

 

В промежутке , поэтому . Следовательно, длина дуги

 

.

Задачи по физике

 

Пусть точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на прямой начало отсчета, положительное направление и единицу измерения. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой. Зависимость  называется законом движения точки. Средней скоростью движения называют отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Если, скажем, точка за промежуток времени от t ₁ до t ₂ прошла путь от А до В и вернулась обратно в А, то перемещение равно 0 и средняя скорость v _ср равна 0. В общем случае имеем

v _ср = ,

 

или

v _ср = .

 

Если положить , то средняя скорость за промежуток времени  окажется равной:

v _ср = .

Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней скоростью движения за промежуток , когда . Значит,

v _мгн = .

 

Так как , то мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная координаты (пути) x по времени t. в этом состоит механический смысл производной.

Дифференциал координаты равен , т.е. v _мгн . Это путь, который прошло бы тело за промежуток времени , если бы его скорость была постоянной и равнялась мгновенной скорости в момент времени t. Пример 15. Найти мгновенную скорость при свободном падении.

Решение. Закон свободного падения имеет вид . Согласно сказанному выше v _мгн = . Значит нужно найти производную функции .

Дадим аргументу приращение . Тогда

 

.

Главная линейная часть приращения  имеет вид , а потому . Итак, v _мгн = . Пример 16. Пусть - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени . Решение. Если - промежуток времени, а - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время , то  - средняя сила тока за промежуток времени :

 

I _ср= .

 

За силу тока I в момент времени  принимается I _ср. Таким образом,

 

,

 

т.е. сила тока есть производная от количества электричества, как функции от времени.

Пример 17. Пусть дан неоднородный стержень длины , - масса части стержня длины  (один из концов стержня принимается за начало отсчета). Найдем линейную плотность стержня в данной точке .

Решение. Если - масса части стержня между точками, расположенными соответственно на расстоянии  и  от начала отсчета, то - средняя линейная плотность стержня на рассматриваемом участке, а -искомая линейная плотность . Таким образом,

 

,

т.е. линейная плотность стержня в данной точке есть производная массы стержня как функции от его длины.

Рассмотренные примеры показывают, как используются производная для изучения скорости протекания неравномерных процессов. При этом само понятие скорости понимается в широком смысле. Например, плотность стержня есть скорость изменения массы части стержня как функции его длины.

В общем случае можно сказать так: - средняя скорость изменения функции  на отрезке , а - скорость изменения  в данной точке.

Вычисление интегралов

 

Интегрирование по частям.

Пусть  и - дифференцируемые функции от . Тогда .

Интегрируя обе части тождества в пределах от  до , получим:

 

. (20)

 

Так как , то ; поэтому равенство (20) может быть записано в виде

 

,

 

или окончательно

.

 

Пример 17. Вычислить интеграл .

Решение.

 

Доказательство неравенств

 

При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций.

Пример 18. Докажем, что для всех  справедливо неравенство .

Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную .

Так как при  выполняется неравенство , причем равенство возможно лишь в случае , то функция  возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство . Но .

Значит, , т.е. .

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Пример 19. Докажем, что при  выполняется неравенство

 

.

Решение. Составим вспомогательную функцию , где

 

,

 

и найдем ее производную

 

.

 

Из предыдущего примера следует, что , значит, функция  возрастает на луче . Но тогда из неравенства  вытекает неравенство , а так как , то получаем , т.е.

 

 

и, следовательно,

 

,

 

Что и требовалось доказать.

Пример 20. Докажем, что если , то .

Решение. Исследуем на монотонность функцию . Имеем

 

.

если , то, как известно,  и тем более . Значит, в интервале выполняется неравенство , а потому функция  возрастает на этом интервале. Тогда из  следует , т.е. , что и требовалось доказать.