Метод узловых и контурных уравнений

 

 

E 1                E 2                                                          I 1                I 2                                                          I         R 01               R 02             R

Дано: Е1 = 130 В  Е2 = 117 В  R01 = 1 Ом  R02 = 0,6 Ом  R = 24 Ом   Найти токи ветвей

1. В схеме 3 ветви  необходимо найти 3 тока. Токи в ветвях направляем произвольно и обозначаем их I ₁; I ₂; I.

Для решения задачи надо составить 3 уравнения.

 

2. (n – 1) уравнение составляем по I закону Кирхгофа.

n – число узлов схемы

I ₁ + I ₂ – I = 0.

 

3. Недостающие для решения задачи уравнения составляем по II закону Кирхгофа, выбираем контуры и направления их обхода (произвольно)

Е ₁ – Е ₂ = I ₁· R ₀₁ – I ₂ · R ₀₂

Е ₁ = I ₁· R ₀₁ + I · R

 

4. Получили систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными

 

 

Подставляем данные задачи

 

5. Решаем систему уравнений и получаем

I ₁ = 10 A

I ₂ = –5 A

I ₃ = 5 A

 

6. Ток I ₂ имеет знак «–», это означает, что реальное направление тока противоположно выбранному. На схеме изменяем направление тока.

 

7. Решение задачи можно проверить по уравнению баланса мощностей: сумма мощностей всех генераторов электрической цепи равна сумме мощностей всех потребителей.

 

В рассмотренной схеме источник Е ₁ работает в режиме генератора             ;

источник Е ₂ работает в режиме потребителя      ; все сопротивления потребляют электроэнергию.

Таким образом, E ₁ I ₁ = E ₂ I ₂ + R_{0 1} + + I ² R.

Подставляем численные значения и получаем 1300 Вт = 1300 Вт, т.е. задача решена верно.

 

Последовательное, параллельное и смешанное соединения резисторов.

Метод «свёртки»

Последовательное соединение

            R 1          R 2 I     R 3

○                                                             ○

 

                            U

 

При последовательном соединении конец первого резистора соединен с началом второго, конец второго с началом третьего и т.д.

Свойства:                 

а) I 1 = I 2 = I 3 = I

б) U = U 1 + U 2 + U 3

в) R ЭКВ = R 1 + R 2 + R 3       RЭКВ – эквивалентное сопротивление

г) P ОБЩ = P 1 + P 2 + P 3

 

Параллельное соединение

I

○

                I ₁         I ₂        I ₃

U              R 1       R 2        R 3

○

 

При параллельном соединении элементы включены так, что имеют две общие точки.

Свойства:                 

а) U 1 = U 2 = U 3 = U

б) I = I 1 + I 2 + I 3

в)

г) P ОБЩ = P 1 + P 2 + P 3

 

Смешанное соединение

При смешанном соединении имеются участки с последовательным и параллельным соединением.

 

 

R 1                                 B     I 1                            I 2      I 3          E                      R 2      R 3          R 0                  R 4                                 A

Дано:         Е; R 0, R 1, R 2, R 3, R 4   Определить: I 1, I 2, I 3.

 

1. Направляем и обозначаем токи, начиная от «+» источника.

2. Решаем задачу методом «свертки», т.е. последовательно заменяем сопротив­ление отдельных участков их эквивалентными.

Находим эквивалентные сопротивления всей цепи.

а) R ₂ и R ₃ соединены параллельно

 

R 1       В      I 1                                                                          E                   R 23          R 0                  R 4                               А

б) R 1, R ₂₃ и R 4 соединены последовательно

       R _ЭКВ = R ₁ + R ₂₃ + R ₄

 

3. Определяем общий ток

 

       I ₁ = .

 

4. Для того, чтобы определить токи I ₂ и I ₃, определим напряжение между узлами А и В.

U _AB = I ₁· R ₂₃ или U _AB = E – I ₁(R ₁ + R ₄ + R ₀).

 

5. Находим токи            

                                         

6. Проверяем решение, применяя I закон Кирхгофа: I ₁ = I ₂ + I ₃.

 

Вопросы на динамику в электрической цепи:

?: Как изменится U _AB, если R ₁ увеличится?

Ответ:                   R ₁ ↑            R _ЭКВ↑         I ₁↓

                  U _AB = I ₁· R ₃₄ уменьшится.

 

?: Как изменится U _AB, если R ₃ уменьшится?

Ответ:                   R ₃ ↓            R 34↓          R _ЭКВ↓         I ₁↑

                  U _AB = Е – I ₁ (R ₁ + R ₄ + R ₀) уменьшится.

Метод узлового напряжения

Формулы основаны на законах Кирхгофа. Метод можно применить для расчета схемы, имеющей 2 узла.

 

                                В

        I ₁         I ₂          I ₃           I

                                                                 

           Е 1         Е 2        Е 3

                                                               R

        R ₀₁         R ₀₂        R ₀₃

 

                               A

 

Токи надо направить во всех ветвях в одну сторону, например, от узла А к узлу В.

Находим проводимости всех ветвей

;              ;              ;             

Находим узловое напряжение

Узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей.

ЭДС входит в формулу со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением тока, в противном случае ей присваивают знак «–».

Определяем токи ветвей по формулам:

I ₁ = (Е ₁ – U _AB) g ₁

I ₂ = (Е ₂ – U _AB) g ₂

I ₃ = (Е ₃ – U _AB) g ₃

I = – U _AB· g

Решим задачу в общем виде, применяя метод узлового напряжения

 

 

R 3         I 1         I 2          I 3             Е 1        Е 2         Е 4            R 01                         R 04                         Е 3                                  R 03       R 4         R 1         R 2                                            R 5

 

Проводимость ветви – величина, обратная ее эквивалентному сопротивлению.

 

I ₁ = (Е ₁ – U _AB)· g ₁

I ₂ = (Е ₂ – Е ₃ – U _AB)· g ₂

I ₃ = (– Е ₄ – U _AB)· g ₄