Решение задачи о трех резервуарах

    Для ускорения процесса шлюзования в некоторых случаях предусматривают одновременное наполнение камер из нескольких сберегательных бассейнов, расположенных на разных уровнях. При проектировании такой схемы наполнения (опорожнения) камеры шлюза необходимо знать направление движения воды в галереях каждого из бассейнов и в галереях камеры в течение всего процесса.

    Сложность математического моделирования процесса заключается в решении системы уравнений неустановившегося движения воды, описывающих одновременную работу трех и более сообщающихся резервуаров.

    Известно решение задачи о трех сообщающихся резервуарах с разными, но сохраняющимися постоянными уровнями воды и с неменяющимися во времени коэффициентами сопротивления трубопроводов, соединяющих их.

Решение сводится к построению пьезометрических линий и определению пьезометрического напора в точке схождения трубопроводов «О» (рис. 5.1, а). Сопоставление этого напора с напорами из резервуаров позволяет судить о направлении движения воды в трубопроводах.

Если напор H_i из i -го резервуара больше пьезометрического напора в точке «О», то резервуар является питающим. Если напор из резервуара меньше пьезометрического напора в точке «О», то резервуар питаемый. Если напор из резервуара и пьезометрический напор в точке «О» равны, то резервуар нейтрален, т.е. Q_i =0.

    Система уравнений, описывающая совместную работу всех резервуаров, представленных на рис. 5.1, а, выглядит следующим образом:

 

(5.1)

где: k_i - модуль расхода i -го трубопровода;

l_i - длина i -го соединительного трубопровода;

Ñ _i - отметка горизонта воды в i -ом резервуаре;

Q_i - расход воды, проходящий по i -му трубопроводу.

    В настоящем разделе предлагается решение задачи о трех сообщающихся резервуарах [61] с изменяющимися во времени уровнями воды в них и коэффициентами сопротивлений трубопроводов.

 

 

Рис. 5.1. Схемы к решению задачи о трех сообщающихся резервуарах

 

    Рассмотрим три сообщающихся резервуара, у которых соединяющие их трубопроводы сходятся в одной точке (рис. 5.1, б).

    Для каждого резервуара известны следующие параметры:

Ω – площадь водной поверхности;

ω – площадь поперечного сечения соединительного трубопровода;

l – длина соединительного трубопровода;

 – начальная отметка воды в резервуаре;

ξ – коэффициент гидравлического сопротивления.

    Сложность решения этой задачи заключается в том, что уравнение Бернулли может быть составлено только для двух сечений.

    Преобразуем исходную схему (рис. 5.1, б). Для этого к точке схождения трубопроводов подведем фиктивный резервуар со следующими характеристиками: Ω₀, Ñ ₀, l₀=0, ξ₀ = 0.

Далее разобьем общую схему на три раздельные, состоящие из двух резервуаров, один из которых фиктивный (см. рис. 5.1, в, г, д).

Совместность работы этих систем обеспечивается выполнением условия:

(5.2)

Работа каждой системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(5.3)

и уравнением неразрывности:

,

(5.4)

 

где: Q – расход воды;

  l – приведенная к расчетной площади соединительного трубопровода его длина;

А – приведенная площадь зеркал резервуаров;

ξ – суммарный коэффициент сопротивления, приведенный к расчетной площади соединительного трубопровода;

h - перепад между уровнями воды в резервуарах одной системы.

    Работа всех резервуаров будет описываться системой уравнений:

 

(5.5)

Для числа сообщающихся резервуаров равного n система уравнений (5.5) примет следующий вид:

 

(5.6)

 

Если количество резервуаров более трех и трубопроводы их соединяющие сходятся в разных точках, то расчетная схема будет иметь столько фиктивных резервуаров, сколько имеется точек схождения трубопроводов.

 На рис. 5.2. приведен пример расчетной схемы для пяти сообщающихся резервуаров, трубопроводы которых сходятся в двух точках.

 

 

Рис. 5.2. Схема к решению задачи о пяти сообщающихся резервуарах

 

 

    Система уравнений, описывающая их работу, имеет вид:

,

(5.7)

где введены следующие обозначения:

; ; ; ; ; .

 

    Таким образом, общее число уравнений, описывающих работу сообщающихся резервуаров равно n + m, n – число сообщающихся резервуаров,

m – число точек схождения трубопроводов.

    Уравнение типа (5.3) не может быть решено в элементарных функциях в случае переменного ξ, поэтому для решения системы приходится использовать приближенные численные способы расчета.

    Для анализа гидравлических процессов рассмотрим решение системы (5.6) применительно к трем резервуарам со следующими характеристиками:

- площади зеркал Ω₁=Ω₂ =Ω₃= 1500м²;

- длины соединительных трубопроводов l ₁ = 300 м, l ₂ = 200 м, l ₃ = 100 м;

- коэффициенты гидравлических сопротивлений ξ₁ =ξ₂=ξ₃= 2,5;

- начальные уровни воды в первом резервуаре 0,0, во втором 8,0, в третьем 10,0, уровень выравнивания зеркал резервуаров 6,0.

    Расчет будем производить в течение 1000с, что позволяет проследить все возможные сочетания состояний резервуаров. При этом полагаем, что резервуары включаются в работу одновременно и коэффициенты сопротивлений трубопроводов остаются постоянными во времени.

    Результаты расчетов представлены в графическом виде на рис. 5.3.

    На этих графиках, в зависимости от направления движения воды в трубопроводах, можно выделить следующие промежутки времени с характерными физическими процессами

- на первом промежутке продолжительностью t ₁ происходит перетекание воды из второго и третьего резервуаров в первый;

- на втором промежутке продолжительностью t ₂ расход из третьего резервуара распределяется между первым и вторым резервуаром, который становится питаемым;

- на третьем промежутке продолжительностью t ₃ первый резервуар переходит в режим питающего резервуара, а питаемым остается только второй;

- на четвертом промежутке продолжительностью t ₄ наблюдается процесс, обратный процессу, имевшему место на первом промежутке;

- на пятом промежутке продолжительностью t ₅ второй резервуар питается из первого и третьего;

 - на шестом промежутке продолжительностью t ₆ третий резервуар питает первый и второй;

- седьмой промежуток продолжительностью t ₇ по физическим процессам аналогичен первому;

- на восьмом промежутке продолжительностью t ₈ второй резервуар питает первый и третий;

- на девятом промежутке продолжительностью t ₉ первый и второй резервуары питают третий.

Из совместного рассмотрения графиков (см. рис.5.3.) видно, что переход резервуара из состояния питающего в состояние питаемого происходит после экстремального понижения в нем уровня относительно уровня выравнивания. Переход из состояния питаемого в состояние питающего – при экстремальном повышении в нем уровня относительно уровня выравнивания, что в обоих случаях вызвано действием сил инерции масс воды, находящейся в трубопроводах.

Рис. 5.3. Результаты решения задачи о трех сообщающихся резервуарах

а – графики изменения уровней воды в резервуарах; б – график изменения расхода воды в трубопроводах; в – фрагмент 1