Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события.

ЛЕКЦИЯ 2 (продолжение)

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,… A_n находится по формуле:

P (A₁ + A₂ +…+ A_n) = 1 - P

Доказательство

Пусть событие A заключается в появлении хотя бы одного из событий

A₁, A₂,… A_n . Тогда A = A₁ + A₂ +…+ A_n.

Рассмотрим противоположное событие  - не произошло ни одно из

событий A₁, A₂,… A_n. Тогда  = . Следовательно,

P(A) = 1 – P() = 1 – P().

 

Определение. Надежностью элемента называется вероятность его

безотказной работы в течение определенного промежутка времени.

 

Пример. Определить надежность схемы, если надежности элементов А , А , А , А  и А , работающих независимо, соответственно равна

 0,6; 0,4;0,5; 0,3 и 0,9.

Решение.

Пусть событие А – схема работает. Тогда

А = А · (А + А +А ) ·А

Поэтому Р(А) = Р(А (А + А +А ) А ) =

по теореме умножения независимых событий

= Р(А )·Р(А + А +А )· Р(А ) =

по теореме о вероятности появления хотя бы одного события

= Р(А )· (1 - P )·Р(А ) =

по теореме умножения независимых событий

= Р(А )· (1 - )·Р(А ) = 0,6·(1 – 0,6·0,5·0,7)·0,9 =0,43

Статистическое определение вероятности

На основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными – которые происходят реже. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с практическим понятием частоты события.

Определение. Частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов:

P_n

Частоту события часто называют его статистической вероятностью. При небольшом количестве опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер, проявляет тенденцию стабилизироваться.

Пример. Опыт Бюффона.

Французский естествоиспытатель Жорж-Луи Бюффон (1707 – 1788) бросил монету 4040 раз, герб выпал 2048 раз. Частота появления герба

Теорема.

Проводится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. Вероятность появления события А (успех испытания) в каждом опыте Р(А) = р. Вероятность непоявления события А (неуспех испытания) в каждом опыте Р(Ā) = q = 1 - р. Тогда вероятность того, что при n испытаниях Бернулли будет k «успехов» находится по формуле Бернулли:

Р_n(k)  = р^k q^n-k.

Доказательство.

 

Рассмотрим событие В_k, состоящее в том, что событие А появится при n испытаниях ровно kраз.

Будем обозначать через А_iпоявление, а через Ā_i  - не появление события А в i-ом эксперименте, Р(А_i) = р, Р(Ā_i) = q. События А_1, А₂ , …,А_n независимы.

Каждый способ реализации события В_k  (т.е. каждый член суммы разложения события В_k) должен состоять из k появлений события А и n – k не появлений, т.е.

В_k = А₁А₂ … А_k Ā_k+1 … Ā_n + … + Ā₁ Ā₂ … Ā_n-k А_n-k+1 … А_n,

При этом в каждое такое произведение событие А_i должно входить k раз, а событие Ā_j -  n – k раз.

Число всех комбинаций такого рода равно числу способов   выбора k экспериментов, в которых осуществлялось событие А, из n экспериментов. Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий, равна р^kq^n-k. Так как эти комбинации между собой несовместны, то по теореме сложения вероятность события В_k   равна 

Р_n(k)  = р^k q^n-k.

Следствие. Вероятность того, что событие А появится не менее m ₁ и не более m ₂ раз при n испытаниях Бернулли определяется по формуле

.

 

 Локальная теорема Муавра – Лапласа

 

Формула Бернулли Р_n(k)  = р^k q^n-kнеудобна при больших значениях n; поэтому, вероятность в этом случае вычисляют по приближенной формуле.

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие A произойдёт k раз в n независимых испытаниях при достаточно больших значениях n, приближённо равна

 

Р_n(k)  = р^k q^n-k ,

где

;

 

(без доказательства).

Локальную теорему Муавра-Лапласа применяют, если выполнено условие n × p × q ³ 20.

Значения функции j (x) можно вычислить на калькуляторе или найти с помощью таблицы, приведенной в Приложении 1 (Гмурман). При этом следует иметь в виду, что j (x) чётная функция, значит, j (- x) = j (x). Можно также считать, что, если x > 4, то j (x) = 0.

Пример. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты орёл выпадет ровно 60 раз.

Решение. Имеем n = 100; p = 0,5; q = 0,5. Условие n × p × q = 100×0,5×0,5 = 25 ³ 20 выполнено. Применим формулу Муавра-Лапласа

 

Р₁₀₀(60)≈

Ответ: 0,0108.

 

 Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p (0 < p < 1) событие A наступит не менее m ₁ и не более m ₂ раз приближённо равна

P (m ₁, m ₂) = F(x ₂) - F(x ₁).

 

Здесь

F(x) =  - функция Лапласа,

 

x ₁ = (m ₁ – np)/ ,                       x ₂ = (m ₂ – np)/ .

 

Таблица значений функции Лапласа F(x) для положительных значений x (0 ≤ x ≤ 5) приведена в Приложении 2 (Гмурман). При этом следует иметь в виду, что F(x) нечётная функция, поэтому F(- x) = - F(x). Можно также считать, что, если x > 5, то F(x) = 0,5.

Пример. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты орёл выпадет не менее 40 и не более 60 раз.

Решение. Имеем n = 100; p = 0,5; q = 0,5; m ₁ = 40; m ₂ = 60.

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа

 

P (40, 60) = F(x ₂) - F(x ₁),

 

где F(x) - функция Лапласа,

x ₁ = (40 - 100×0,5)/  = -2,

 

x ₂ = (60 - 100×0,5)/  = 2.

 

Учитывая, что функция Лапласа нечётная функция, получим

 

P (40 ≤ m ≤ 60) = F (2) - F (-2) = 2 F (2).

 

По таблице Приложения 2 (Гмурман) находим F (2) = 0,4772.

Значит,

P (40 ≤ m ≤ 60) = 2×0,4772 = 0,9545.

 

Ответ: 0,9545.

 

 Формула Пуассона

 

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании есть малое число, а число испытаний n - велико, то формула Бернулли становится громоздкой и непригодна для вычислений. В этом случае вычисления выполняют по приближенной формуле Пуассона.

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании стремится к нулю (p ®0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n ®¥), причём произведение np стремится к постоянному числу l (np ® l), то вероятность Р_n(k)  = р^k q^n-k того, что событие A появится k раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет приближённому равенству

 

Р_n(k) ,

где l = n × p.

 

Эта формула называется формулой Пуассона

 

Пример: На факультете насчитывается 1606 студентов. Какова вероятность того, что 23 апреля является днём рождения одновременно 5 студентов?

Решение: Применим формулу Пуассона потому, что вероятность

p = 1/365 - мала, а число n = 1606 - велико. Вычислим l = np; l = 1606/365 =4,4. Положим в формуле Пуассона k = 5, l = 4,4; в результате получим

 

Р₁₆₀₆(5) =  = 0,169.

 

Ответ: 0,169.

ЛЕКЦИЯ № 3

ЛЕКЦИЯ 2 (продолжение)

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,… A_n находится по формуле:

P (A₁ + A₂ +…+ A_n) = 1 - P

Доказательство

Пусть событие A заключается в появлении хотя бы одного из событий

A₁, A₂,… A_n . Тогда A = A₁ + A₂ +…+ A_n.

Рассмотрим противоположное событие  - не произошло ни одно из

событий A₁, A₂,… A_n. Тогда  = . Следовательно,

P(A) = 1 – P() = 1 – P().

 

Определение. Надежностью элемента называется вероятность его

безотказной работы в течение определенного промежутка времени.

 

Пример. Определить надежность схемы, если надежности элементов А , А , А , А  и А , работающих независимо, соответственно равна

 0,6; 0,4;0,5; 0,3 и 0,9.

Решение.

Пусть событие А – схема работает. Тогда

А = А · (А + А +А ) ·А

Поэтому Р(А) = Р(А (А + А +А ) А ) =

по теореме умножения независимых событий

= Р(А )·Р(А + А +А )· Р(А ) =

по теореме о вероятности появления хотя бы одного события

= Р(А )· (1 - P )·Р(А ) =

по теореме умножения независимых событий

= Р(А )· (1 - )·Р(А ) = 0,6·(1 – 0,6·0,5·0,7)·0,9 =0,43