Элементы теории множеств и математической логики

АЛГЕБРА

Сборник примерных
рабочих программ

7-9 классы

Учебное пособие
для общеобразовательных
организаций

6-е издание

Москва
«Просвещение»
2020

УДК 37.091.214:512

ББК 74.262.21

А45

Составитель: Т. А. Бурмистрова

Алгебра. Сборник примерных рабочих программ. 7—9 классы: А45 учеб. пособие для общеобразоват. организаций / [сост. Т. А. Бур­мистрова]. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2020. — 112 с. — ISBN 978-5-09-076509-1.

Сборник рабочих программ основного общего образования по алгебре пред­назначен для учителей, работающих по УМК Г. В. Дорофеева и др., Ю. М. Ко- лягина и др., Ю. Н. Макарычева и др., С. М. Никольского и др., Ю. Н. Ма­карычева и др. (углублённый уровень). Он содержит следующие разделы: по­яснительную записку; общую характеристику курса алгебры 7—9 классов; место предмета в Базисном учебном (образовательном) плане; требования к резуль­татам обучения и освоения содержания курса; содержание курса по основным линиям; планируемые результаты изучения курса алгебры в 7—9 классах; при­мерное тематическое планирование с описанием видов учебной деятельности учащихся и указанием примерного числа часов на изучение соответствующего материала; рекомендации по оснащению учебного процесса.

АЛГЕБРА

Сборник примерных рабочих программ

Классы

Учебное пособие для общеобразовательных организаций

Редакция математики и информатики

Заведующий редакцией Е. В. Эргле. Ответственный за выпуск И. В. Рекман.
Редакторы Н. Н. Сорокина, И. В. Рекман.

Художники А. Г. Бушин, А. А. Песина. Младший редактор Е. В. Трошко.
Художественный редактор Т. В. Глушкова. Технический редактор
и верстальщик Е. В. Саватеева. Корректоры Н. В. Игошева, М. Г. Волкова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано
в печать 25.02.20. Формат 70 х 90¹/i6. Бумага газетная. Гарнитура Newton.
Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5,74. Тираж 1000 экз. Заказ №               .

Акционерное общество «Издательство «Просвещение». Российская Федерация,
127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3, этаж 4, помещение I.

Предложения по оформлению и содержанию учебников —
электронная почта «Горячей линии» — fpu@prosv.ru.
Отпечатано в России.

Отпечатано по заказу АО «ПолиграфТрейд» в типографии

филиала АО «ТАТМЕДИА» ПИК «Идел-Пресс». 420066, г. Казань, ул. Декабристов, 2.

© Издательство «Просвещение», 2011

© Издательство «Просвещение», 2019, с изменениями

© Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011, 2019 Все права защищены

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа основного общего образования по алгебре состав­лена на основе Фундаментального ядра содержания общего образования и Требований к результатам освоения основной общеобразовательной программы основного общего образования, представленных в Федераль­ном государственном образовательном стандарте общего образования. В ней также учитываются основные идеи и положения Программы раз­вития и формирования универсальных учебных действий для основного общего образования.

Сознательное овладение учащимися системой алгебраических знаний и умений необходимо в повседневной жизни для изучения смежных дис­циплин и продолжения образования.

Практическая значимость школьного курса алгебры обусловлена тем, что её объектом являются количественные отношения действительного мира. Математическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей. Математика является языком науки и тех­ники. С её помощью моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в природе.

Алгебра является одним из опорных предметов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин. В первую очередь это отно­сится к предметам естественно-научного цикла, в частности к физике. Развитие логического мышления учащихся при обучении алгебре способ­ствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические умения и навыки алгебраического характера необходимы для трудовой и про­фессиональной подготовки школьников.

Развитие у учащихся правильных представлений о сущности и про­исхождении алгебраических абстракций, соотношении реального и иде­ального, характере отражения математической наукой явлений и процес­сов реального мира, месте алгебры в системе наук и роли математиче­ского моделирования в научном познании и в практике способствует формированию научного мировоззрения учащихся и качеств мышле­ния, необходимых для адаптации в современном информационном об­ществе.

Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности развитого воображения, алгебра развивает нрав­ственные черты личности (настойчивость, целеустремлённость, творче­скую активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дис­циплину и критичность мышления) и умение аргументированно отстаи­вать свои взгляды и убеждения, а также способность принимать самостоятельные решения.

Изучение алгебры, функций, вероятности и статистики существенно расширяет кругозор учащихся, знакомя их с индукцией и дедукцией, обобщением и конкретизацией, анализом и синтезом, классификацией и систематизацией, абстрагированием, аналогией. Активное использова-

ние задач на всех этапах учебного процесса развивает творческие спо­собности школьников.

Изучение алгебры позволяет формировать умения и навыки умствен­ного труда — планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическую оценку результатов. В процессе изучения ал­гебры школьники должны научиться излагать свои мысли ясно и исчер­пывающе, лаконично и ёмко, приобрести навыки чёткого, аккуратного и грамотного выполнения математических записей.

Важнейшей задачей школьного курса алгебры является развитие ло­гического мышления учащихся. Сами объекты математических умозаклю­чений и принятые в алгебре правила их конструирования способствуют формированию умений обосновывать и доказывать суждения, приводить чёткие определения, развивают логическую интуицию, кратко и наглядно раскрывают механизм логических построений и учат их применению. Тем самым алгебра занимает одно из ведущих мест в формировании научно-теоретического мышления школьников. Раскрывая внутреннюю гармонию математики, формируя понимание красоты и изящества мате­матических рассуждений, алгебра вносит значительный вклад в эстети­ческое воспитание учащихся.

Общая характеристика курса. В курсе алгебры можно выделить следующие основные содержательные линии: арифметика; алгебра; функ­ции; вероятность и статистика. Наряду с этим в содержание включены два дополнительных методологических раздела: логика и множества; ма­тематика в историческом развитии, что связано с реализацией целей об­щеинтеллектуального и общекультурного развития учащихся. Содержание каждого из этих разделов разворачивается в содержательно-методическую линию, пронизывающую все основные содержательные линии. При этом первая линия — «Логика и множества» — служит цели овладения уча­щимися некоторыми элементами универсального математического языка, вторая — «Математика в историческом развитии» — способствует созда­нию общекультурного, гуманитарного фона изучения курса.

Содержание линии «Арифметика» служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию их логическо­го мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а так­же приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рацио­нальными и иррациональными числами, формированием первичных представлений о действительном числе.

Содержание линии «Алгебра» способствует формированию у уча­щихся математического аппарата для решения задач из разделов матема­тики, смежных предметов и окружающей реальности. В основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений. Язык алгебры подчёркивает значение математики как языка для построения математи­ческих моделей процессов и явлений реального мира.

Развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики, и овладение навыками дедуктивных
рассуждений также являются задачами изучения алгебры. Преобразова­ние символьных форм способствует развитию воображения учащихся, их способностей к математическому творчеству.

Содержание раздела «Функции» нацелено на получение школьниками конкретных знаний о функции как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов. Изучение этого материала способствует развитию у учащихся умения использовать раз­личные языки математики (словесный, символический, графический), вносит вклад в формирование представлений о роли математики в раз­витии цивилизации и культуры.

Раздел «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школь­ного образования, усиливающий его прикладное и практическое значе­ние. Этот материал необходим прежде всего для формирования у уча­щихся функциональной грамотности — умения воспринимать и крити­чески анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, про­изводить простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбина­торики позволит учащимся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том числе в простейших прикладных за­дачах.

При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой инфор­мации и закладываются основы вероятностного мышления.

Место предмета в учебном плане. Базисный учебный (образова­тельный) план на изучение алгебры в 7—9 классах основной школы от­водит 3 ч в неделю в течение каждого года обучения, всего 315 уроков на базовом уровне и не менее 4 ч в неделю на углублённом уровне.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
КУРСА АЛГЕБРЫ В 7—9 КЛАССАХ

Для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом (выделено курсивом) уровнях выпускник по­лучит возможность научиться в 7—9 классах:

Числа

• Оперировать понятиями: натуральное число, целое число, обыкно­венная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень;

• оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множе­ство целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геоме­трическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, дей­ствительных чисел;

• понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

• использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений, в том числе с использованием приёмов рациональных вы­числений;

• использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;

• выполнять округление рациональных чисел в соответствии с прави­лами и с заданной точностью;

• оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;

• распознавать рациональные и иррациональные числа и сравнивать их;

• представлять рациональное число в виде десятичной дроби;

• упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и деся­тичной дроби;

• находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении за­дач.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

• выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

• составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;

• применять правила приближённых вычислений при решении прак­тических задач и задач из других учебных предметов;

• выполнять сравнение результатов вычислений при решении прак­тических задач, в том числе при выполнении приближённых вычис­лений;

• составлять и оценивать числовые выражения при решении прак­тических задач и задач из других учебных предметов;

• записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.

Тождественные преобразования

• Оперировать понятиями: степень с натуральным показателем, сте­пень с целым отрицательным показателем;

• выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

• выполнять преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые; выполнять действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сло­жение, вычитание, умножение);

• использовать формулы сокращённого умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений зна­чений выражений;

• выполнять разложение многочленов на множители одним из спо­собов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокра­щённого умножения;

• выделять квадрат суммы и квадрат разности одночленов;

• раскладывать на множители квадратный трёхчлен;

• выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым отрицательным показателем, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;

• выполнять несложные преобразования дробно-линейных выраже­ний и выражений с квадратными корнями, а также сокращение дро­бей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сло­жение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алге­браической дроби в натуральную и целую отрицательную степени;

• выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;

• выделять квадрат суммы или квадрат разности двучлена в вы­ражениях, содержащих квадратные корни;

• выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• понимать смысл записи числа в стандартном виде;

• оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа»;

• выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;

• выполнять преобразования алгебраических выражений при реше­нии задач других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

• Оперировать понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, числовое неравенство, неравенство, корень уравнения, решение уравне­ния, решение неравенства, равносильные уравнения, область определе­ния уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);

• проверять справедливость числовых равенств и неравенств;

• решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящи­еся к линейным;

• решать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, с помощью тождественных преобразований;

• проверять, является ли данное число решением уравнения (нера­венства);

• решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного урав­нения;

• решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ква­дратным, с помощью тождественных преобразований;

• решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;

• изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой;

• решать дробно-линейные уравнения;

• решать простейшие иррациональные уравнения виДа              (х) = а,

4/ (х) = 4д (х);

• решать уравнения виДа х^п = а;

• решать уравнения способом разложения на множители и спосо­бом замены переменной;

• использовать метоД интервалов Для решения целых и Дробно-ра­циональных неравенств;

• решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;

• решать несложные кваДратные уравнения с параметром;

• решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;

• решать несложные уравнения в целых числах.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• составлять и решать линейные уравнения и кваДратные уравнения, уравнения, к ним своДящиеся, системы линейных уравнений, нера­венств при решении задач из других учебных предметов;

• выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных урав­нений и неравенств при решении задач других учебных предметов;

• выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их си­стемы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

• уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции

• Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функ­ции, область определения и множество значений функции, нули функ­ции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, чёт- ность/нечётность функции;

• находить значение функции по заданному значению аргумента;

• находить значение аргумента по заданному значению функции в не­сложных ситуациях;

• определять положение точки по её координатам, координаты точки по её положению на координатной плоскости;

• по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;

• строить график линейной функции;

• проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);

• определять приближённые значения координат точки пересечения графиков функций;

• строить графики линейной, квадратичной функций, обратной про­порциональности, функций виДа у = а + —^к—, у = у[х, у = ^х, у = |х|;

х + Ь

• на примере квадратичной функции использовать преобразова­ния графика функции у = / (х) Для построения графика функции у = af(кх + Ь) + с;

• составлять уравнение прямой по заДанным условиям: прохоДящей через Две точки с заДанными коорДинатами, прохоДящей через Дан­ную точку и параллельной Данной прямой;

• исслеДовать функцию по её графику;

• нахоДить множество значений, нули, промежутки знакопосто- янства, монотонности кваДратичной функции;

• оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

• решать простые задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчётом без применения формул;

• решать заДачи на арифметическую и геометрическую прогрес­сию.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, проме­жутки возрастания и убывания, области положительных и отрицательных значений и т. п.);

• использовать свойства линейной функции и её график при реше­нии задач из других учебных предметов;

• иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

• использовать свойства и график квадратичной функции при ре­шении задач из других учебных предметов.

Текстовые задачи

• Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифме­тические действия;

• решать простые и сложные задачи разных типов, а также за­дачи повышенной трудности;

• строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с це­лью поиска решения задачи; использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

• различать модель текста и модель решения задачи, конструи­ровать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

• осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассужде­ние строится от условия к требованию или от требования к условию; знать и применять оба способа поиска решения задач (от требова­ния к условию и от условия к требованию);

• решать несложные логические задачи методом рассуждений, моде­лировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф- схемы;

• решать логические задачи разными способами, в том числе с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

• составлять план решения задачи; выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

• уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осозна­вать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

• анализировать затруднения при решении задач;

• выполнять различные преобразования предложенной задачи, кон­струировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, иссле­довать полученное решение задачи;

• анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном дви­жении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение 10

двух объектов как в одном направлении, так и в противоположных направлениях;

• знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчёта;

• решать задачи на нахождение части числа и числа по его части, ре­шать разнообразные задачи «на части»;

• решать и обосновывать своё решение задач (выделять матема­тическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

• находить процент от числа, число по его проценту, процентное от­ношение двух чисел, процентное снижение или процентное повышение величины;

• решать задачи на проценты, в том числе сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

• решать, осознавать и объяснять идентичность задач разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, вы­делять эти величины и отношения между ними, применять их при ре­шении задач, конструировать собственные задачи указанных типов;

• владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

• решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на ос­нове использования изученных методов и обосновывать решение;

• решать несложные задачи по математической статистике;

• овладевать основными методами решения сюжетных задач: ариф­метическим, алгебраическим, перебора вариантов, геометрическим, гра­фическим, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых величин в задаче (делать прикидку);

• выделять при решении задач характеристики рассмат риваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстра­гировались), конструировать новые ситуации с учётом этих харак­теристик, в частности, при решении задач на концентрации учиты­вать плотность вещества;

• решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реаль­ных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный ре­зультат.

История математики

• Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

• знать примеры математических открытий и их авторов в связи с отечественной и всемирной историей;

• понимать роль математики в развитии России;

• характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей.

Методы математики

• Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных ти­пов математических задач;

• приводить примеры математических закономерностей в окружаю­щей действительности и произведениях искусства;

• используя изученные методы, проводить доказательство, выпол­нять опровержение;

• выбирать изученные методы и их комбинации для решения ма­тематических задач;

• использовать математические знания для описания закономер­ностей в окружающей действительности и произведениях искусства;

• применять простейшие программные средства и электронно­коммуникационные системы при решении математических задач.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ В 7—9 КЛАССАХ

(Содержание, выделенное курсивом,
изучается на углублённом уровне)

Числа

Рациональные числа. Множество рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Представле­ние рационального числа десятичной дробью.

Иррациональные числа. Понятие иррационального числа. Распозна­вание иррациональных чисел. Примеры доказательств в алгебре. Ирра­циональность числа >/2. Применение в геометрии. Сравнение иррацио­нальных чисел. Множество действительных чисел.

Тождественные преобразования

Числовые и буквенные выражения. Выражение с переменной. Зна­чение выражения. Подстановка выражений вместо переменных.

Целые выражения. Степень с натуральным показателем и её свой­ства. Преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Одночлен, многочлен. Действия с одночленами и многочле­нами (сложение, вычитание, умножение). Формулы сокращённого умно­жения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности. Разложе­ние многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращённого умножения. Квадрат­ный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители.

Дробно-рациональные выражения. Степень с целым показателем. Преобразование дробно-линейных выражений: сложение, умножение, деление. Алгебраическая дробь. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дро­бей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Дей­ствия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Преобразование выражений, содержа­щих знак модуля.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Преобра­зование выражений, содержащих квадратные корни: умножение, деление, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.

Уравнения и неравенства

Равенства. Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равен­ство с переменной.

Уравнения. Понятия уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений. Область определения уравнения (область допустимых значений переменной).

Линейное уравнение и его корни. Решение линейных уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с пара метром.

Квадратное уравнение и его корни. Квадратные уравнения. Непол­ные квадратные уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Фор­мула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обрат­ная теореме Виета. Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разло­жение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным. Квадратные уравнения с параметром.

Дробно-рациональные уравнения. Решение простейших дробно­линейных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений. Мето­ды решения уравнений: методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод. Использование свойств функ­ций при решении уравнений. Простейшие иррациональные уравне­ния виДа (х) = а, (х) = ^/д(х). Уравнения виДа х^п = а. Уравнения в целых числах.

Системы уравнений. Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая интерпре­тация линейного уравнения с Двумя переменными.

Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений. Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графиче­ский метоД, метоД сложения, метод подстановки. Системы линейных уравнений с параметром.

Неравенства. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных. Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства. Область опреДеления неравенства (область Допустимых значений переменной).

Решение линейных неравенств. КваДратное неравенство и его решения. Решение кваДратных неравенств: использование свойств и графика кваДратичной функции, метоД интервалов. Запись реше­ния кваДратного неравенства. Решение целых и Дробно-рациональных неравенств метоДом интервалов.

Системы неравенств. Системы неравенств с одной переменной. Ре­шение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.

Функции

Понятие функции. Декартовы координаты на плоскости. Формиро­вание представлений о метапредметном понятии «координаты». Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования раз­личных реальных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность/нечётность, промежутки воз­растания и убывания, наибольшее и наименьшее значения. Исследование функции по её графику. Представление об асимптотах. Непрерыв­ность функции. Кусочно заданные функции.

Линейная функция. Свойства и график линейной функции. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в за­висимости от её углового коэффициента и свободного члена. Нахожде­ние коэффициентов линейной функции по заданным условиям: про­хождение прямой через две точки с заданными координатами, про­хождение прямой через данную точку и параллельно данной прямой.

Квадратичная функция. Свойства и график квадратичной функции (параболы). Построение графика квадратичной функции по точкам. Нахождение нулей квадратичной функции, множества значений, про­межутков знакопостоянства, промежутков монотонности.

Обратная пропорциональность. Свойства функции у = ^к. Гипербола.

X

Графики функций. Преобразование графика функции у = / (х) Для построения графиков функций виДа у = af (кх + Ь) + с. Графики функций у = а + ^к—, у = 4х, у = Цх, у = |х |.

х + Ь

Последовательности и прогрессии. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей. Бесконечные последовательно­сти. Арифметическая прогрессия и её свойства. Геометрическая прогрес­сия. Формула общего члена и суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессий. СхоДящаяся геометрическая прогрессия.

Решение текстовых задач

Задачи на все арифметические действия. Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, дру­гих средств представления данных при решении задач.

Задачи на покупки, движение и работу. Анализ возможных ситу­аций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объёмов выполняемых работ при совместной работе.

Задачи на части, доли, проценты. Решение задач на нахождение части числа и числа по его части. Решение задач на проценты и доли. Применение пропорций при решении задач.

Логические задачи. Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.

Основные методы решения текстовых задач: арифметический, ал­гебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).

Глава 1. Дроби и проценты