З адание для контрольной работы

 

 

Вариант задания определяется остатком от деления номера зачетной книжки на число 40.

Для нелинейной САУ рассчитать и построить переходный процесс на фазовой плоскости.

 

 

Таблица 4.1 - Варианты задания к занятию №4

Вариант 0	Вариант 1
Вариант 2	Вариант 3
Вариант 4	Вариант 5
Вариант 6	Вариант 7
Вариант 8	Вариант 9

 

Продолжение таблицы 4.1

Вариант 10	Вариант 11
Вариант 12	Вариант 13
Вариант 14	Вариант 15
Вариант 16	Вариант 17
Вариант 18	Вариант 19

 

Продолжение таблицы 4.1

Вариант 20	Вариант 21
Вариант 22	Вариант 23
Вариант 24	Вариант 25
Вариант 26	Вариант 27
Вариант 28	Вариант 29

 

Продолжение таблицы 4.1

Вариант 30	Вариант 31
Вариант 32	Вариант 33
Вариант 34	Вариант 35
Вариант 36	Вариант 37
Вариант 38	Вариант 39

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение фазовым переменным и фазовым траекториям. Какие преимущества в расчетах САУ даёт переход к фазовым переменным и траекториям?

2. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет мнимые корни? Дайте определение автоколебаниям.

3. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет комплексные корни?

4. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет действительные корни одинаковых знаков?

5. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет действительные корни разных знаков?

6. Почему из системы фазовых уравнений нежелательно исключать те переменные, которые являются входным и выходным сигналом нелинейного элемента?

7. Как с учетом графика нелинейности производится разбиение на области фазовой плоскости? Поясните смысл линий переключения.

8. Как рассчитываются и стыкуются между собой участки фазовой траектории?

9. Как установить замкнутость фазовой траектории?

 

Рекомендуемая литература: [2], [3], [4].

 

Расчёт и построение переходного процесса на фазовой плоскости

 

 

Рекомендации по изучению теоретических вопросов курса

 

 

Импульсными называются САУ, в которых содержится хотя бы один блок, в котором информация передается и обрабатывается в импульсном виде.

Сложность аналитического описания импульсных сигналов обусловлена следующими причинами:

1) импульсы являются дискретными сигналами и их число в выделенной в САУ линии связи не ограничено (бесконечное большое число);

2) каждый импульс из бесконечной их последовательности не описывается аналитически формулой.

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты.

z -изображение от импульсной функции

Пока явственно видно, что запись z -изображение менее громоздка в сравнении с записью преобразованием Лапласа от импульсной функции .

Теперь развернем z -изображение в ряд

Видно, что ряд представляет собой сумму произведений значений решетчатой функции х (п) на отрицательные степени символа z, причем значение отрицательного показателя степени совпадает с номером импульса,

С формальной точки зрения z -изображение представляют собой сумму членов геометрической прогрессии. Основание геометрической прогрессии, каким является символ , по модулю меньше единицы, так как именно положительном значении действительной части оператора s вычисляется преобразование Лапласа.Поэтому геометрический ряд в принципе может сходиться, а прогрессия может быть свернута в конечную формулу.

Принцип действия модуляторов состоит в том, что периодически с непрерывного сигнала x (t) снимается мгновенное значение и запоминается на период Т. В промежутке между съемами значений аналогового сигнала x (t) для импульсов сигнал x (t) может изменяться произвольным способом/ Очевидно, что неопределенность в определении действительного графика x (t) будет уменьшаться с уменьшением периода Т следования импульсов. Если τ _min – минимальный период гармонической составляющей разложения в ряд Фурье функции x (t), то период Т следования импульсов, при котором возможно по значениям решетчатой функции однозначно восстановить график x (t), определяется неравенством Котельникова

                               Т ≤ 0,5∙τ _min

Рассмотрим типовые соединения звеньев импульсных САУ.

На рисунке 5.1а приведено последовательное соединение двух звеньев, в линии связи между которыми установлен модулятор, который выходной сигнал v (t) 1-го звена преобразует в АИМ-сигнал v _И (t), являющийся входным для 2-го звена. Модуляторы условно показаны ключами, замыкающимися с периодом Т. Для такого соединения можно каждое линейное звено заменить на звено импульсной САУ с ДП

Эквивалентная ДПФ такого соединения будет такой же, как и в линейных САУ

На рисунке 5.1 б приведено последовательное соединение двух звеньев, которые между собой связаны непрерывным сигналом v (t). Условие перехода к ДПФ по формулам нарушено. Эквивалентная ДПФ должна рассчитываться по формуле

 

Рисунок 5.1 - Последовательное соединение звеньев в импульсной САУ

 

Для параллельного соединения (рисунок 5.2) эквивалентная ДПФ рассчитывается по формуле

 

Рисунок 5.2 - Параллельное соединение звеньев в импульсной САУ

 

Для соединения с отрицательной обратной связью (рисунок 5.3) эквивалентная ДПФ замкнутой САУ рассчитывается по формуле

Два ключа на входе элемента сравнения преобразуют непрерывные сигналы х (t) и y (t) в импульсы х_И (t) и y _И (t), которые затем вычитаются, формируя импульс ε _И (t) сигнала ошибки. Но тот же импульс ε _И (t) может быть получен таким образом, когда сначала вычитаются непрерывные сигналы х (t) и y (t), образуя этим непрерывный сигнал ε (t), а затем он модулятором превращается в импульс ε _И (t).

 

Рисунок 5.3 - Соединение звеньев с обратной связью в импульсной САУ

 

Далее будем использовать только структурные схемы линейных САУ с ДПФ, полагая, что звенья этой схемы определены корректно.

По определению переходным процессом называется реакция САУ на единичный скачок.

Если  - z -изображение входного сигнала САУ и W _ЗАМ (z) – ДПФ импульсной САУ, то в соответствии с определением ДПФ, z -изображение переходного процесса будет иметь вид

Далее методы расчета изучим на числовых примерах.

При W _ЗАМ (z) z -изображение переходного процесса будет следующим

Расчет переходного процесса в импульсной САУ состоит в определении амплитуд импульсов выходного сигнала h (z) или, что эквивалентно, - расчет решетчатой функции h (n). Существуют два метода расчета:

1) метод разложения h (z) в ряд по степеням z ^{- n};

2) табличный метод.

В импульсных САУ достаточно прост синтез корректирующего устройства, с которым в САУ устанавливается желаемый переходный процесс.

Расчет и построение будут рассмотрены более подробно в примере решения.

 

 

П ример решения

А. Для образующей x (t)=3+5t+2е^-2t найти изображение x (z), для заданного периодследования импульсов Т= 0,001.

Б. Задана передаточная функция разомкнутой САУ:

Для неё:

1. Найти ДПФ замкнутой W _ЗАМ (z) импульсной САУ.

2. Рассчитать переходный процесс способом разложения в ряд и табличным способом. Построить график и найти длительность переходного процесса в импульсах.

3. Рассчитать ДПФ последовательного корректирующего устройства, с которым в САУ переходный процесс примет вид:

4. Составить разностное уравнение и алгоритм работы рассчитанного в п.3 корректирующего устройства

 

Задание

Для нелинейной САУ, представленной на рисунке 4.2 рассчитать и построить переходный процесс на фазовой плоскости.

 

Решение

А. Найдем изображение функции:

Подставим значения, получим:

Б. 1. Нахождение ДПФ замкнутой W _ЗАМ (z) импульсной САУ

ДПФ замкнутой САУ будет следующей:

2. Расчет переходного процесса способом разложения в ряд и табличным способом. Построение графика и нахождение длительности переходного процесса в импульсах.

Если  - z -изображение входного сигнала САУ и W _ЗАМ (z) – ДПФ импульсной САУ, то в соответствии с определением ДПФ (41.9), z -изображение переходного процесса будет иметь вид

При W _ЗАМ (z) z -изображение переходного процесса будет следующим

а. Метод разложения (распаковки) h (z) в ряд по степеням z^-n

Преобразуем h (z) к стандартному виду

Выполним деление многочлена 0,5 z ² -0,35 z на многочлен z ² -1,8 z +0,8

Результатом деления является ряд

коэффициентами которого при степенях z ^{- n} являются значения решетчатой функции h (n) переходного процесса.

Заполним табл.5.1 и построим график переходного процесса (рисунок 5.4).

 

Таблица 5.1 - Значения решетчатой функции переходного процесса

Номер импульса п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	∞
h (n) из ряда (4.25)	0,5	0,55	0,59
h (n) из формулы (4.28)	0,5	0,55	0,59	0,622	0,648	0,668	0,684	0,698	0,708	0,716	0,75

Рисунок 5.4 - График переходного процесса

 

Недостатком метода является то, что при заранее неизвестном установившемся значении решетчатой функции h (п) является неопределенным число необходимых делений двух многочленов.

 

б. Табличный метод

Преобразуем h (z) к сумме табличных z -выражений:

Для определения коэффициентов А и В составляем и решаем систему уравнений

Находим оригинал h (t):

где α должно быть таким, чтобы было (см. табл.4.1)

В полученном выражении нужно брать дискретное время, значения которого совпадают с периодом Т следования импульсов:

Имея формулу выражения переходного процесса, можно определить установившееся значение переходного процесса и его длительность в импульсах.

Для расчета длительности переходного процесса преобразуем (4.28)

Длительность переходного процесс в импульсах находим из уравнения

5. Расчет ДПФ последовательного корректирующего устройства

Одним из требований к САУ может быть формирование заданного графика решетчатой функции переходного процесса. Так в рассчитанный переходный процесс при заданной передаточной функции непрерывной части W _ИЧ (s) имеет следующие недостатки:

- установившаяся ошибка регулирования составляет 25%, что, безусловно, очень много;

- длительность переходного процесса составляет 9 тактов, что также является слишком большой величиной.

Структурная схема синтезированной САУ имеет стандартный вид, где корректирующее устройство располагается последовательно с объектом управления, а и имеется единичная отрицательная обратная связь. В качестве корректирующего устройства выберем микропроцессорное. Используя график желаемого переходного процесса h _Ж (п), у которого ошибка регулирования составляет 0%, а длительность переходного процесса составляет 2 такта.

Значения решетчатой функции h _Ж (п) графика желаемого переходного процесса заносим в таблицу 5.2. Далее вычисляем значения решетчатой функции ε_Ж (п) =1 (п)- h _Ж (п) графика желаемой ошибки регулирования и также заносим в таблице 5.2.

 

Таблица 5.2 - Данные для желаемых графиков h _Ж (п) и ε_Ж(п)

Номер п импульса	0	1	2	3	… ∞
Значения желаемого графика h Ж (п)	0	0,8	1	1	1
Значения желаемого графика εЖ (п)	1	0,2	0	0	0

 

Значение ε_Ж (п) содержат конечное число ненулевых элементов и бесконечное – нулевых. Используя представление z -изображения в виде ряда, по данным таблицы 5.2 запишем для ε_Ж (п) конечный ряд

Запишем, используя h _Ж (z) =1 (z) -ε_Ж (z), z -изображение для сигнала h _Ж (z):

Используя определение ДПФ, определяем желаемую ДПФ разомкнутой САУ

Так как согласно структурной схемы, изображенной на рис.45.1,

то ДПФ корректирующего устройства будет иметь вид

где W _НЧ (z) взято равным выражению ДПФ непрерывной части разомкнутой САУ.

Если график желаемого переходного процесса h _Ж (п) будет иметь конечное число ненулевых значений и бесконечное – нулевых, то сначала составляется выражение h _Ж (z) в виде конечного ряда, а затем вычисляется ε_Ж (z) =1 (z)- h _Ж (z).

 

6. Составление разностного уравнение для расчета текущего значения выходного импульса и(п) корректирующего устройства

Приведем выражение W _КУ (z), поделив числитель и знаменатель его на z в максимальной степени:

Составим операторное уравнение корректирующего устройства

Осуществляем переход к уравнению над значениями решетчатых функций сигналов u (z) и ε (z):

Получено разностное уравнение, связывающее арифметическими действиями входные и выходные импульсы корректирующего устройства.

Текущее значение выходного сигнала и (п) корректирующего устройства вычисляется по выражению:

Структура выражения показывает, что для определения текущего значения выходного сигнала и (п) корректирующего устройства необходимо взять предшествующие значения выходного и (п-1) и входного ε (п-1) сигналов, предшествующие на 2 такта значения и (п-2) и ε (п-2) и предшествующие на 3 такта значения и (п-3) и ε (п-3) и выполнить над ними вычисления. Предшествующие значения необходимо хранить в оперативном запоминающем устройстве микропроцессорного управляющего устройства.