П. 6. Смешанные задачи на прямую и плоскость

Задача 1. Дана плоскость с нормальным вектором  и прямая    с направляющим вектором , которая пересекает плоскость в некоторой точке Е.

Найти угол между прямой и плоскостью.

а

Решение.

                                    Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой

                                и её проекцией на плоскость. Если векторы  и  направлены в

α

                                     одну сторону от плоскости,  угол между ними равен , если

                                   же векторы  и  направлены в разные стороны, то угол между

ними равен . Таким образом,

,

или

(1)

Задача 2. Дана плоскость с нормальным вектором  и точка , не принадлежащая плоскости.

Найти расстояние d от точки М ₀ до плоскости (α).

α

α

α

(а)

d

М 0

Е

                                                         

Решение.

 

Проведем прямую (а) с направляющим вектором , проходящую через точку М ₀ перпендикулярно к плоскости (α). Ее уравнение: . Так как (а) (α), то верно, что . Тогда можем записать, что  и уравнение прямой примет вид:

или в параметрическом виде .

Пусть прямая и плоскость пересекаются в точке Е. Тогда .

Найдем координаты точки Е. Так как это точка пересечения прямой и плоскости, то ее координаты – решение системы . Перепишем ее в виде .

Подставим выражения для x, y, z в 4-ое уравнение системы, получим:

 

 число, пусть t = t ₀.

Подставим известное t ₀  в выражения для x, y, z, т.е. в первые три уравнения системы:

 

,

,

.

Следовательно, координаты точки Е: . Тогда координаты вектора . Найдем .

= (подставим вместо t ₀ его значение) = .

– расстояние от точки  до плоскости    (2)

Примеры.

 

α

М 0

Задача 1. Найти уравнение прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку М₀ (0, 0, 1/2).

α

Решение.

Нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору

прямой . Следовательно, координаты направляющего

вектора прямой пропорциональны (совпадают) с координатами нормального вектора.

Подставим данные в каноническое уравнение: Ответ:

Задача 2. Найти точку пересечения прямой    и плоскости .

Решение.

Координаты точки пересечения М – это решение системы .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

α

М

, отсюда .                                         

Найдем решение системы:

,

отсюда х = 1+1=2, у = -2 - 1= -3, z = 6 – координаты точки пересечения. Ответ: .

Задача 3. Найти угол  между прямой в:  и плоскостью : .

Решение.

, . Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

 

.

Задача 4. Написать уравнение проекции прямой l:  на плоскость : .

Решение.

α

, .

α 1

А

Чтобы найти проекцию d прямой l на плоскость ,

l

надо построить плоскость, проходящую через прямую l

А

перпендикулярно плоскости .

α

d

Пересечение полученной плоскости с плоскостью  -

прямая d - и будет искомой проекцией. 

Уравнение плоскости , походящей через прямую l перпендикулярно плоскости можно найти либо 1 методом, либо 2-ым. Это уравнение имеет вид: . Нормальный вектор .

Тогда общее уравнение искомой прямой d имеет вид: . 

Запишем это уравнение в каноническом виде. Для этого необходимо найти точку А, лежащую на прямой, и направляющий вектор .

Найдем координаты точки А: пусть z = 0, тогда , методом Гаусса получим, что

х = 0, у =-1. Координаты точки А (0, -1, 0).

Направляющий вектор  найдем по формуле:

Уравнение прямой d – уравнение искомой проекции имеет вид: .