П. 2. Полярная система координат (ПСК)

Полярная система координат (ПСК) на плоскости определяется заданием точки О, называемой полюсом, луча (ОР) – полярной оси и единицы масштаба.

Положение любой точки М в ПСК характеризуется координатами ρ и φ и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Р

1

M (ρ, φ)

О

φ

ρ

  ρ – полярный радиус – расстояние от полюса О до точки М, причем      ρ ≥ 0.

φ – полярный угол – угол, откладываемый от полярной оси против часовой стрелки до луча (ОМ), причем 0 ≤ φ ≤ 2π.

 

Р

1

M

О

φ

х

х

у

у

ρ

Связь декартовых координат с полярными.

 

Совместим системы координат так, чтобы ось (Ох) совпадала с полярной осью (ОР), а начало координат совпадало с полюсом.

Декартовые координаты точки М – (х, у). Полярные координаты этой же точки – (ρ, φ).

Из прямоугольного треугольника следует:

(1)                       (2)

(3)

 определяет два угла: φ и φ + π, формулы (3) уточняют, какой из них рассматривать.

 

Определение. Уравнение Ф (ρ, φ)=0 определяет на плоскости некоторую линию l, представляющую собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Обычно уравнение разрешено относительно переменной ρ: ρ = f (φ).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовой системе координат F (x, y) = 0 к ее полярному уравнению Ф (ρ, φ) = 0 нужно подставить вместо х и у формулы (1). Обратный переход от        Ф (ρ, φ) = 0 к F (x, y) = 0 получается с помощью формул (2) и (3).

Пример 1. Найти полярное уравнение прямой х = 1.

Решение. х = 1  – уравнение прямой.

Пример 2. Найти декартовое уравнение кривой .

Решение. Используем формулы (2) и (3): , . Подставим в уравнение: , отсюда .

П. 3. Параметрическое задание линий в ДСК и ПСК.

Иногда обе координаты х, у или ρ, φ оказываются заданными как функции некоторой третьей переменной t, являющейся параметром, определяющей положение точки на плоскости (когда t меняется, точка перемещается, описывая некоторую линию).

Параметрическое уравнение линии в ДСК:  или     

Параметрическое уравнение линии в ПСК:  или     

Чтобы перейти к уравнению линии в общей форме F (x, y) = 0 или Ф (ρ, φ) = 0 надо из двух параметрических уравнений исключить параметр t, например, в ДСК в первом уравнении выразить параметр t через х и подставить во второе уравнение. Но это не всегда целесообразно.

Графики строят путем задания х (ρ), получая значения параметра t, затем с помощью известного t, получая значение у (φ).

Пример. Составить параметрические уравнения кривой  в ПСК и ДСК. Заданная кривая – это окружность радиуса R, с центром в точке С (0, R).

Решение. Пусть полярный угол φ будет параметром t

1) ПСК. Параметрическое уравнение кривой имеет вид: , где , так как .

2) ДСК. .

.

Тогда параметрическое уравнение кривой имеет вид: