Аналитические расчеты колебаний в верховом уравнительном резервуаре и подводящей деривации

Все представленные в данном разделе решения получены для условий мгновенного изменения расхода турбинного водовода, представленного на рис. 5,а и рис. 5,в.

Цилиндрический уравнительный резервуар; расчет без учета гидравлических сопротивлений. Пренебрежение гидравлическими сопротивлениями позволяет привести уравнения (5) и (9) к линейному дифференциальному уравнению второго порядка

                                                                                  (14)
с решением вида

,                                                              (15)

,                                              (16)
где  – угловая частота, – период колебаний

.                                                                                      (17)

Коэффициент С ₂=0. Он определяется подстановкой в (15) начального условия Z=0 при t=0.

Коэффициент . Он определяется подстановкой начального условия  в (16) при t= 0 с учетом принятого мгновенного изменения расхода.

Подстановкой С₁ и С₂ в (15) и (16) получаем частное решение для уровня в резервуаре и расхода деривации:

,                                                               (18)

.                                                            (19)

Максимальное отклонение уровня от начального значения определится из (18) при sin (ωt) =1.

При определении   используется граничное условие, моделирующее сброс нагрузки (рис. 5,а). В этом случае решение (18) и (19) опишет колебательный процесс, представленный на рис. 6,а. Процесс показан в относительной системе координат. За единицу оси времени принят период колебаний. За единицу оси уровней принят подъем уровня при изменении расхода от максимального до нуля. За единицу расхода – максимальный расход турбин, связанных с уравнительным резервуаром.

При определении   используется граничное условие, моделирующее набор нагрузки рис. 5,в. В этом случае аналитическое решение (15) и (16) описывает колебательный процесс, представленный на рис. 6,б.

Цилиндрический уравнительный резервуар; расчет с учетом потерь напора в деривации. При учете потерь напора в деривационном водоводе и при нулевых потерях в уравнительном резервуаре система исходных дифференциальных уравнений (5) и (9) приводится к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка:

.                                          (20)

 

                     а)                                                         б)

Рис. 6. Переходный процесс в верховом уравнительном резервуаре без учета потерь напора. Сброс нагрузки (а), набор нагрузки (б)

 

Для определения   используется граничное условие, моделирующее сброс нагрузки (рис. 6,а) с конечным расходом, равным нулю (рис.6,а). В этом случае решение уравнения (20) получено [2] в виде

,                                                                     (21)
где  – относительные значения начального уровня и максимального подъема уровня в резервуаре;

 – параметр напорной системы, определяемый через геометрические размеры и коэффициенты, характеризующие потери напора (по длине и местные);

– коэффициент потерь напора по длине деривации;

 – суммарный коэффициент местных сопротивлений в деривации.

Для удобства использования, решение (21) представлено в графическом виде на рис. 7.

                     а)                                                          б)

Рис. 7. График для определения максимального подъема уровня в цилиндрическом уравнительном резервуаре при мгновенном и полном закрытии гидротурбин; а – большие значения ; б – малые значения

По графикам на рис.7 может быть определен максимальный подъем уровня в резервуаре для рассмотренного граничного условия в виде мгновенного изменения расхода турбинного водовода от заданного  до .

 

Для определения   используется граничное условие, моделирующее набор нагрузки с конечным расходом, не равным нулю (рис.5,в). Дифференциальное уравнение (20) в этом случае не интегрируется. Минимальная отметка при колебаниях может быть рассчитана по приближенной формуле, полученной на основании обобщения результатов численных расчетов [3]

,                          (22)
где ; ;  – положение уровня в резервуаре в конечном установившемся режиме при ; Z – максимальный подъем уровня в резервуаре без учета гидравлических сопротивлений, рассчитываемый по формуле (18).

Формула (22) верна при < 1,23. При < 1,23 возникает апериодический процесс изменения уровня в резервуаре.

Уравнительный резервуар с дополнительным сопротивлением; расчет с учетом гидравлических сопротивлений в деривации и резервуаре.

Для определения   используется граничное условие, моделирующее сброс нагрузки с конечным расходом, равным нулю (рис.5,а). Для нулевого конечного расхода решение уравнения (20) получено в виде [2]

,                  (23)
где ; остальные параметры указаны в обозначениях формулы (21).

Для удобства использования решение (23) представлено на рис. 8 в графическом виде. По графику может быть определен максимальный подъем уровня в резервуаре для рассмотренного граничного условия в виде

 

Рис. 8. График для определения максимального подъема уровня в уравнительном резервуаре с дополнительным сопротивлением при мгновенном и полном закрытии гидротурбин

мгновенного изменения расхода турбинного водовода от заданного  до .

Анализ формулы (23) показывает, что функция  имеет экстремум при .

Для определения   используется граничное условие, моделирующее набор нагрузки в котором конечный расход не равен нулю (рис.1,в). Дифференциальное уравнение (20) в этом случае не интегрируется, аналитического решения не существует. Для определения максимального понижения уровня следует выполнять решение численным методом (см. раздел 5).

Камерный уравнительный резервуар. Аналитическое решение для уравнительного резервуара камерного типа позволяет определить объем верхней и нижней камер при их размещении на заданных отметках. Решение может быть получено в случае введения ряда допущений (рис. 9).

Допущение 1. Расчет выполняется для условий, когда при поступлении воды в резервуар она мгновенно достигает верхней камеры, а при выходе из резервуара – нижней камеры. Данное допущение предполагает нулевой объем шахты резервуара.

Допущение 2. Считается, что весь объем верхней камеры сосредоточен на отметке верха шахты резервуара.

Допущение 3. Считается, что весь объем нижней камеры сосредоточен на отметке ее средней линии.

Допущение 4. В качестве граничных условий принимается мгновенное изменение расхода турбинного водовода от начального до конечного значения.

Рис. 9. Схема камерного уравнительного резервуара: 1 - верхняя камера; 2 - нижняя камера; 3 - шахта; 4 - деривационный водовод; 5 - турбинный водовод; 6 - уровень в резервуаре до изменения нагрузки; 7 - отверстия для слива воды из верхней камеры; 8 - наивысшее положение уровня в резервуаре

 

Для определения объема верхней камеры   используется граничное условие, моделирующее сброс нагрузки (рис. 5,а) с нулевым конечным расходом. Для нулевого конечного расхода и указанных допущений 1 - 4 решение уравнения и (20) получено в виде [4]

.                                                             (24)

Для определения  предварительно на­до назначить  – отметку водослива на гребне шахты резервуара. Экономически оправданным является значение  в интервале 8-12 м над максимальным уровнем ВБ.

Для определения объема нижней камеры   используется граничное условие, моделирующее набор нагрузки (рис. 5,в) с конечным расходом, не равным нулю. При использовании граничного условия с ненулевым конечным расходом решение для объема нижней камеры верхового уравнительного резервуара получено в виде [4]

,                        (25)
где ; .

Из (25) следует – чем ниже расположена нижняя камера, тем меньше ее требуемый объем.