Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.

Случай функции с особой точкой

 – первообразная для

Таким образом,  сходится  конечный предел первообразной .

Примеры.

 

Рассмотрим интегралы

Рассмотрим случай интеграла с особой точкой в левом конце отрезка:

Случай

Аналогично рассматривается интеграл с особой точкой в правом конце отрезка. Таким образом

 имеет при  порядок роста  относительно ).

Исследование несобственных интегралов 2-го рода на сходимость.

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения:

пусть

a. Если  сходится, то  также сходится.

b. Если  расходится, то  также расходится.

2. Предельный признак сравнения.

Пусть для  и  при , т.е. .

Тогда  и  оба сходятся или оба расходятся.

3. Если сходится , то сходится и  .

Примеры.

1.

При ,

2.

При

Замечание: если  непрерывна на  кроме точки  и  не ограничена в окрестности точки , тогда

(для первого и второго интегралов в правой части особой точкой является   правый или левый конец отрезка).

 сходится  сходятся оба интеграла  и

Пример.

Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками

1.

Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части:

a. .

b. .

.

(несобственный интеграл 2-го рода + несобственный интеграл 1-го рода ).

a.  – сходится при

b.  – сходится при

Значит,  расходится для любого .

.

a.

При

b.

При .

Таким образом исходный интеграл расходится.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Рассмотрим несобственный интеграл

Опр. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Опр. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, но интеграл  расходится.

Пример.

 ( без доказательства, см. рис. 17).

 

 

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

 

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах

 непрерывна на

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями  Пусть  – разбиение отрезка  на элементарные отрезки ; ; .

Рассмотрим площадь  части фигуры, удовлетворяющей условию . Пусть  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  на

 заключена между площадями прямоугольников с высотой  и

Сложим по  от  до :

Т.е.

где  – интегральные суммы, соответствующие разбиению  и выбору точек  и  соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу); при

Из (1.9.1) получаем:

 

Замечания:

1.  (см. рис. 19.)

Рис. 19

2.  (см. рис. 20).

Рис. 20

 

3.  (см. рис. 21).

Рис. 21