Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.Стр 1 из 2Следующая ⇒
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл . Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :
Если конечный предел , то несобственный интеграл от до называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел равен или не существует) – расходящимся. Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Аналогично для функции , определенной на по определению (см. рис. 9). Свойство линейности. Если , сходятся, то сходятся интегралы . Аналогично для . Вычисление несобственного интеграла 1-го рода. Пусть – первообразная для на , тогда Таким образом, сходится конечный предел первообразной
Примеры. , Рис. 10 Рис. 11 1.
Рис. 12 2.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость. Признаки сходимости: 1. Признак сравнения. Пусть a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13). b. Если расходится, то также расходится. 2. Предельный признак сравнения: пусть для и при , т.е. . Тогда и оба сходятся или оба расходятся. 3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!). В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы (a>0). Примеры. 1. . при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку. При ; ; , ; интеграл сходится по предельному признаку. 3. Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения. . – сходится сходится по признаку 3. Несобственные интегралы 2-го рода Пусть непрерывна на , но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим . Т.к. непрерывна на , то – определенный интеграл. Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл: при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).
Рис. 15 – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Рис. 16 Свойство линейности. Если , сходятся, то сходятся интегралы . Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками 1. Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части: a. . b. . . (несобственный интеграл 2-го рода + несобственный интеграл 1-го рода ). a. – сходится при b. – сходится при Значит, расходится для любого . . a. При b. При . Таким образом исходный интеграл расходится. Объемы тел вращения. Рис. 26 Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси (см. рис. 26). Найдем объем тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью – круг радиуса . Тогда Ту же фигуру вращаем вокруг оси (см. рис. 27).
Рис. 27 Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где – площадь кольца радиусов и соответственно: Тогда Суммируя по тонким "слоям", получим Общий случай:
Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем
При вращении фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 28).
Рис. 28
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 52; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.191.169 (0.045 с.) |