Кинетическая интерпретация теоремы

Моментов (теорема Резаля)

Рассмотрим кинематическую интерпретацию этой теоремы. Если конец переменного вектора  обозначим через А, то производная  выражает скорость точки А, т.е.  и из уравнения имеем:

 

.

 

Данное равенство выражает теорему Резаля: скорость конца переменного вектора, изображающего кинетический момент механической системы относительно данного неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил относительно того же центра.

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛА

 

Кинетическая энергия твердого тела

 

Рассмотрим вычисление кинетической энергии твердого тела в частных случаях его движения:

1. Поступательное движение. При поступательном движении тела . В этом случае

 

.

 

 

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси. В этом случае

 

,

 

где – момент инерции тела относительно оси вращения.

 

 

Вычисление работы сил, действующих на твердое тело

 

Работа внешних сил.

 

а) Поступательное движение тела:

Элементарная работа k -й силы

 

.

 

Для всех сил

 

.

 

Т.к. при поступательном движении , то

 

,

 

где  – проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения.

Работа сил на конечном перемещении S

 

.

 

 

б) Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Элементарная работа k-й силы

,

 

где – составляющие силы  по естественным осям .

Т.к. , то работа этих сил на перемещении  точки приложения силы равна нулю. Тогда

.

 

Элементарная работа k -й внешней силы  равна произведению момента этой силы относительно оси вращения  на элементарный угол поворота  тела вокруг оси.

Элементарная работа всех внешних сил

.

где – главный момент внешних сил относительно оси.

Работа сил на конечном перемещении

 

.

Если , то

 

,

 

где – конечный угол поворота; , – число оборотов тела вокруг оси.

 

 

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

 

1. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела получаются на основе теоремы о движении центра масс

.

В проекциях на оси декартовых координат

 

 

где – масса тела; – проекции ускорения центра масс; – проекции главного вектора внешних сил на эти оси.

2. Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

 

 или ,

 

где – момент инерции твердого тела относительно оси вращения; ε – угловое ускорение твердого тела;  – главный момент внешних сил, действующих на твердое тело, относительно Z.

Форма записи уравнения зависит от того, что следует определить в конкретном случае.

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА