Построение таблиц истинности. Формализация есть процедура перевода информации Из одной знаковой системы В другую

Формализация есть процедура перевода информации из одной знаковой системы в другую знаковую систему. В логике высказываний прием формализации означает замену суждений их логической символикой, т. е. соответствующими формулами, построенными из пропозициональных переменных (р, q, r, s, t…) и логических союзов (Λ, V, →, ↔ и др.). Процедура формализации во многом упрощает задачи логического анализа суждений или рассуждений. На практике процедура логической формализации предполагает выполнение следующих требований:

1) Для построения логической формулы высказывания необходимо понять подлинный смысл суждения, выявить его составные части, определить структуру (характер связей между частями) и только после этого записать его в символической форме. Например, в суждении «Гром не грянет – мужик не перекрестится» говорится не о недостаточной религиозности мужского населения России, а о его нерадивости, о стремлении откладывать все «на потом» и приступать к действиям лишь тогда и только тогда, когда уже не действовать невозможно. Поэтому данное суждение должно рассматриваться как эквивалентное, а не как импликативное. Его логическая формула: р ↔ q.

 

2) Установление истинности логических формул, полученных в результате формализации, должно соответствовать определенным правилам и алгоритмам. В качестве алгоритма исчисления истинности логических формул выступают соответствующим образом построенные таблицы. Число строк в таблице истинности логических формул, состоящих из двух или более простых суждений, определяют с помощью формулы А(n) = 2ⁿ, где А – число строк, n – количество простых суждений в формуле. Если логическая формула содержит только одно простое суждение, то число строк в таблице истинности будет равно двум. Для логической формулы состоящей из двух простых суждений, таблица истинности будет содержать уже четыре строки. Для формулы, содержащей три простых суждения, число строк в таблице истинности должно быть 8, так как А(3) = 2³, а в формуле, содержащей четыре простых суждения, число строк уже будет равно 16:А(4) = 16.

 

Заполнение значений «истинно» и «ложно» в таблицах истинности для логической формулы, содержащей n простых суждений, подчиняется следующему алгоритму. Для первого из простых суждений (р) заполняют первый столбец сверху вниз n/2 значениями «истинно», а затем n/2 значениями «ложно». Для второго также заполняется сверху вниз следующим образом: n/4 – «истинно», n/4 – «ложно», n/4 – «истинно», n/4 – «ложно». Для третьего аналогично n/8 – «истинно», n/8 – «ложно» и т. д. В столбце для последнего простого суждения значения «истинно» и «ложно» чередуются сверху вниз попеременно, начиная со значения «истинно». Таким образом, для логической формулы, включающей четыре разных исходных суждения (р, q, r, s), таблица должна содержать 16 строк. Значения столбца, соответствующего первому суждению р, заполняют сверху вниз следующим образом: сначала записывают восемь значений «истинно», а затем восемь значений «ложно». Для второго суждения q столбик заполняют сверху вниз четырьмя значениями «истинно», затем четырьмя «ложно», снова повторяют четыре значения «истинно» и затем еще четыре «ложно». Для третьего r столбец заполняется сверху вниз попеременно по два значения «истинно» и по два «ложно». Для четвертого суждения s значения «истинно» и «ложно» заполняют попеременно, начиная сверху со значения «истинно». Таблица истинности для логической формулы, состоящей из четырех простых суждений, принимает следующий вид:

Р q r s

И и и и

И и и л

И и л и

И и л л

И л и и

И л и л

И л л и

И л л л

Л и и и

Л и и л

Л и л и

Л и л л

Л л и и

Л л и л

Л л л и

Л л л л

Приведем пример исчисления истинности суждения с помощью процедур логики высказываний. Рассмотрим следующее высказывание: «Если человеком совершено преступное деяние, то его следует привлечь к суду, но сейчас привлечь гражданина М. к суду невозможно. Следовательно, он не совершил никаких преступных деяний». Обозначим: суждение «человеком совершено преступное деяние» – р; суждение «его следует привлечь к суду» – q; суждение «привлечь гражданина М. к суду невозможно» – ┐q; суждение «гражданин М. не совершал преступных деяний» – ┐ р. Тогда логическая формула данного суждения принимает следующий вид:

((p → q) ^ ┐q) → ┐ р.

 

В этой формуле только два простых суждения. Следовательно, в соответствующей ей таблице истинности должно быть всего четыре строки:

р| q| ┐ р|┐q|p → q|(p → q) ^ ┐q| ((p → q) ^ ┐q) → ┐ р|

и| и| л| л|   и|               л|                           и|

и| л| л| и|   л|               л|                           и|

л| и| и| л|   и|               л|                           и|

л| л| и| и|   и|               и|                           и|

 

Поскольку в результате последней операции – действия 5 – формула в конечном итоге принимает только истинностные значения при любых значениях входящих в нее переменных, то эта логическая формула является тождественно-истинностной. Такие формулы представляют собой логические стандарты правильного мышления – законы логики. Логические формулы, принимающие разные значения, называются выполнимыми. Логические формулы, принимающие только значения «ложно», называются абсурдными: они недопустимы в логическом мышлении.

 

Вопросы для повторения к теме 4:

1. Какие существуют разновидности простых суждений?

2. Чем отличается простое суждение от сложного?

3. Что такое субъект в атрибутивном суждении?

4. Сколько основных терминов в категорическом суждении?

5. Какие суждения называют сравнимыми?

6. Чем отличаются друг от друга контрарные суждения?

7. Чем отличаются друг от друга субконтрарные суждения?

8. Какие суждения могут находится в отношении контрадикторности?

9. Как образуется сложное суждение?

10. Чем строгая дизъюнкция отличается от простой?

11. Сколько существует отношений совместимости для суждений?

12. В чем суть логических операций обобщения и ограничения

понятий?

13. В чем суть логической формализации?

14. Как определить истинность сложного суждения?

15. Как построить таблицу истинности?

16. Что такое антецедент?

17. Что такое консеквент?

18. Когда эквивалентные суждения истинны?

19. Что есть логическая формула суждения?

20. Когда логическую формулу можно назвать законом логики?

21. Назовите виды простых суждений.

22. Что представляют собой кванторные слова?

23. Какие термины называются распределенными?

24. Как распределены термины в простых суждениях?

25. В чем особенности структур выделяющих и исключающих

суждений?

26. Что такое экзистенциальное суждение?

27. Сколько существует видов атрибутивных суждений?

28. Начертите логический квадрат и объясните его структуру.