Проверка гипотезы об однородности дисперсий параллельных опытов

Прежде всего для каждой серии дублирующих опытов одной ячейки вычисляют средние по ячейке, равные  и дисперсии                   воспроизводимости

                           (5.13)

                   (5.14)

где - каждый элемент в ячейке;

m – номер дубля, n – число дублей;

- среднее по ячейке;

- дисперсия воспроизводимости (ошибок) в ячейке.

Затем проверяют однородность ряда дисперсий воспроизводимости , …  по соответствующим критериям в зависимости от характера дублирования – так, как изложено в разделе 3.2.4:

а) при равномерном дублировании – по критерию Кохрена:

                                                  (5.15)

где N – число ячеек;

б) при неравномерном дублировании – по критерию Фишера, сравнивая две дисперсии – максимальную и минимальную (проверка ориентировочная):

                                                   (5.16)

в) в случае неоднородности дисперсий при проверке по критерию Фишера, можно провести более точную проверку – по критерию Бартлета.

После подтверждения гипотезы об однородности дисперсий можно приступать к анализу.

Если гипотезу приходится отвергнуть, то следует проанализировать матрицу наблюдений, определить ячейку, которая дает выброс, повторить этот опыт и добиться однородности дисперсий. В противном случае результаты дисперсионного анализа будут некорректными.

 

Определение сумм квадратов отклонений и анализ дисперсий влиятельности и случайности

Линейную модель результатов эксперимента можно представить аналогично формуле (5.1) в виде:

y _ijm = μ+γ _i + g _j + ν _ij +ε _ijm                                   (5.17)

где µ, γ _i, g _i - то же, что и в формуле (5.1);

ν _ij - эффект взаимодействия факторов А и В;

ε _ijm - вариация внутри ячейки.

Можно показать аналогично рассмотренному выше, что основное тождество двухфакторного дисперсионного анализа с одинаковым ко­личеством наблюдений в ячейке имеет вид:

(5.18)

где Q ₁ и Q ₂ - суммы квадратов отклонений средних по строкам и столбцам от общей средней, оценивающие, соответственно, эффекты факторов А и В;

Q ₃ - сумма квадратов, оценивающая взаимодействие факторов А и В;

Q ₄ - сумма квадратов отклонений каждого наблюдения от среднего в ячейке, оценивающая вариацию внутри ячейки (случайные ошибки).

Формулы для расчёта средних:

                   (5.19)

                     (5.20)

                 (5.21)

                        (5.22)

Схема анализа и порядок расчета приведены в табл.5.3.

 

Таблица 5.3

Анализ дисперсий

Компоненты дисперсий	Суммы квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсии	Критерий Фишера расчет.	Критерий Фишера табличн.
Между средними по строкам (фактор А)		f 1= r -1
Между средними по столбцам (фактор В)		f 2= υ -1
Взаимодействие факторов A и B		f 3=(υ -1)´ ´(r -1)
Остаточная		f 4= υ r (n -1)		-	-

                                                                                                                                  

Примечание: при расчете критерия Фишера берется отношение большей дисперсии к меньшей.

 

Правильность подсчетов можно проверить с помощью соотношений:

- для числа степеней свободы:

f = f ₁+ f ₂+ f ₃+ f ₄    ;                                                  (5.23)

f=r × υ × n -1;                                                       (5.24)

- для сумм квадратов:

Q=Q ₁+ Q ₂+ Q ₃+ Q ₄,                                                   (5.25)

                                                               (5.26)

Факторы и их взаимодействия значимы, если расчетные значения критерия Фишера больше табличного, определенного при соответствующих числах степеней свободы и выбранном уровне значимости.

Степень влиятельности факторов оценивается вкладами в общую дисперсию отклика. Так, если оба фактора значимы, но > , то фактор А на исследуемый признак оказывает более сильное влияние, чем фактор В.

В заключение необходимо отметить, что выводы, полученные в результате проведения дисперсионного анализа, относятся только к данному экспериментальному материалу при данной его систематизации.