Расчёты на прочность и жёсткость при растяжении и сжатии

Необходимые формулы

Нормально напряжение

где N- продольная сила; А- площадь поперечного сечения.

Удлинение (укорочение) бруса

Е-модуль упругости; l- начальная длина стержня.

Допускаемое напряжение

[s]-допускаемые запасы прочности.

Условие прочности при растяжении и сжатии:

                     Примеры расчётов на прочность и сжатие

Пример 1: Груз закреплён на стержнях и находится в равновесии (рисунок 6.1). Материал стержней – сталь, допускаемое напряжение 160 МПа. Вес груза 100кН. Длина стержней: первого – 2м, второго – 1м. Определить размеры поперечного сечения и удлинение стержней. Форма поперечного сечения – круг.

Рисунок 6.1

Решение:

1. Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие точки В, определим реакции стержней. По пятой аксиоме статики (закон действия и противодействия) реакция стержня численно равна нагрузке на стержень.

Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей. (рисунок 6.1)

Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей координат совпадала с неизвестной силой. (рисунок 6.1. б)

Составим систему уравнений равновесия для точки В:

Решим систему уравнений и определяем реакции стержней.

Направление реакций выбрано верно. Оба стержня сжаты. Нагрузки на стержни: F₁=57,4kH; F₂=115,5kH.

2. Определяем потребную площадь поперечного сечения стержней из условий прочности.

Условие прочности на сжатие:

откуда

Стержень 1 (N₁=F₁)

Для круга

Стержень 2 (N₂=F₂)

Полученные диаметры округляем: d₁=25мм, d₂=32мм.

3. Определяем удлинение стержней

Укорочение стержня 1:

Укорочение стержня 2:

Пример 2: Однородная жесткая плита с силой тяжести 10кН, нагруженная силой F=4,5кН и моментом m=3 кН*м, оперта в точке А и подвешена на стержень ВС (рисунок 6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1м, материал – сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.

Решение:

1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил.

Система находится в равновессии, можно использовать уравнение равновессия для плиты:

R_B – реакция стержня, реакции шарнира А не рассматриваем.

 Откуда

По третьему закону динамики реакция в стержне равна силе, действующей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14 кН.

Рисунок 6.2

2. По условию прочности определяем потребную величину площади поперечного сечения:

 , откуда

Допускаемое напряжение для материала стержня:

          

Следовательно

3. Подберём сечение стержня по ГОСТ (Приложение 1)

Минимальная площадь швелера 6,16см²

Целесообразнее оспользовать равнополочный уголок №2 (d=3мм), площадь поперечного сечения которого 1,13 см².

4. Определить удлинение стержня

Расчётно-графическая работа

Задание 1: Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F₁, F_2,F₃.Площадь поперечного сечения А₁ и А₂.

Принять

 

Рисунок 6.3

Задание 2: Балка АВ, на которую действуют указанные нагрузки, удерживается в равновесии тягой ВС. Определить размеры поперечного сечения тяги для двух случаев: 1) сечение – круг; 2)сечение – уголок равнополочный. Принять . Собственный вес конструкции не учитывать.

 

Рисунок 6.4

 

 

 

 

 

 

Практическая работа 7