Эквивалентные операторные схемы.

Cоставим эквивалентную операторную схему.

 

 

       Запишем уравнения на основании I и II законов Кирхгофа:

 

       После чего решим их относительно искомых токов

 

 

После нахождения изображений искомых функций необходимо решить обратную задачу – найти сами функции (оригинал) по их изображению.

Для этого можно воспользоваться как таблицами, или по теоремой разложения.

 

Согласно последней, если изображение имеет вид рациональной дроби:

      

при  и  не имеют общих корней и  - вещественные числа, то оригинал  находится по формуле:

       где  - простые корни характеристического уравнения

       Если в составе знаменателя имеется множитель р, то применяется несколько другая форма записи теоремы разложения.

      

           

 

Т.о. порядок решения задачи операторным методом.

1. Записываются интегро-дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа для цепи и (или) составляется эквивалентная операторная схема (часто схема составляется без записи уравнений Кирхгофа);

2. Записываются алгебраические уравнения по законам Кирхгофа для изображений, с учетом независимых начальных условий;

3. Решением уравнений находятся изображения искомых функций (токов, напряжений);

4. Применяя теорему разложения определяются оригиналы искомых функций.

 

Расчет п.п. при воздействии источников произвольной формы. Интеграл Дюамеля (интеграл наложения).

 

Интеграл Дюамеля (И.Д.) применяют для расчета переходного процесса при подключении к схеме источника э.д.с. произвольной формы.

       Использование И.Д. требует знания переходной функции схемы . Если определяют ток, то переходная функция называется переходной проводимостью , если рассчитывается напряжение, то переходная функция называется переходной функцией напряжения .

Переходная проводимость – численно равна току в данной ветви при подключении на вход схемы единичного постоянного напряжения . И имеет размерность [A], например:

 

 

 

Переходная функция напряжения – равна переходному напряжению на участке схемы возникающему при подключении к ней единичного напряжения.

Например: 

 

Пусть на входе схемы напряжение изменяется по произвольной форме.

Эту кривую можно произвольно заменить серией ступенчатых функций, запаздывающих относительно друг друга на .

 

Реакция цепи на первую ступень равна реакции цепи на единичную функцию, умноженную на высоту ступени. .

 

Реакция цепи на вторую ступень равна  где: высота второй ступени;  - реакция цепи на единичную функцию, смещенную в сторону запаздывания на .

Следовательно, для рассматриваемого момента времени  реакция цепи равна:

 

При   и :

      

(Вторая форма записи И.Д. )