Научные революции и экстраординарные исследования в математике. Возникновение новой математической теории как межпрактический переход

 

Открытие неевклидовой геометрии единодушно относят к одному из самых революционных открытий в истории математики. И это конечно не случайно, так как под его воздействием изменилось само понимание математиками своей науки. В этом отношении – влиянии на серьёзное изменение мировоззренческих основ научного сообщества, - математические революции, по-видимому, не отличаются от других научных революций. Однако более детальное сопоставление научных революций в математике и в естественнонаучных дисциплинах выявляет серьёзные различия. У иных авторов дело доходит даже до отрицания вообще каких-либо революционных изменений в математике. Показательна здесь дискуссия, развернувшаяся в семидесятые -восьмидесятые годы, вокруг применимости идей Томаса Куна, высказанных в его знаменитой книге «Структура научных революций», для анализа развития математики.

Взгляды Томаса Куна долгое время не вызывали энтузиазма в математическом сообществе. Однако в середине 70-х годов прошлого века в международном журнале Historia Mathematica произошли дебаты Кроу-Мёртенса по поводу существования революций вматематике, которыеимели широкий резонанс. К этой дискуссии подключилисьмногие крупные специалисты в области истории и философииматематики. Итоговый сборник статей по следам дискуссии вышел в 1992 году вОксфорде под названием «Революции в математике» /154 / [37].Сама дискуссия была инициирована в 1975 году небольшой статьёй М. Кроу «Десять«законов», относящихся к образцам изменения в историиматематики»»/141/.М. Кроу был одним из тех, кто воспринял работы Н. Хэнсона, Т. Куна, Д. Агасси, Ст. Тулмина и И. Лакатоса как настоящую революцию в историографии науки. Однако, хотя в сочинениях перечисленных авторов и содержались ссылки на математику и её историю, но, за исключением И. Лакатоса, сколько-нибудь серьёзного рассмотрения этого предмета они не предпринимали. Своей статьёй М. Кроу поставил цель стимулировать обсуждение вопроса о возможности новой историографии математики. Предложенные им «законы» отражали как результаты его исследований в истории математики, так и результаты его изучения постпозитивистской философии науки. Он рассматривал их как гипотезы, которые достойны того, чтобы подлежать проверке в историческом исследовании, широкая цель которого – попытаться распознавать образцы изменений в истории математики /142, с.470/[38].

Полученные «законы» выражают неоднозначность тех процессов, посредством которых развивается математика. С одной стороны, М. Кроу, в духе Куна показывает, что при изучении развития математики необходим учёт факторов, которые можно отнести к субъективным или социо-культурно обусловленным («законы» 2, 4, 5, 6, 7, 9). Вместе с тем, с другой стороны, он не может не признать, что в развитии математики существует некоторая объективная логика, которая реализуются, несмотря на личностные предпочтения тех или иных математиков («законы» 1, 3, 8).Наибольшее внимание вызвал стоящий особняком десятый «закон», утверждавший, что история математики не знает примеров революций. Очень скоро в том же журнале Historia Mathematica появились публикации Е. Коппельман /150/ и Х. Мёртенса /151/, в которых утверждалось прямо противоположное. Но рассмотрим аргументацию М. Кроу.

Кроу понимал под революцией такой процесс, когда «некоторые ранее существовавшие объекты (будь то король, конституция или научная теория) должны быть ниспровергнуты и безвозвратно отброшены» /141, с.165/. Поэтому он жёстко различал действительно революционные открытия и такие открытия, которые вовсе не ниспровергают предшествующие доктрины. Только со вторыми, а не с первыми, по мысли Кроу, мы сталкиваемся в истории математики. Действительно, если под кумулятивизмом понимать методологическую установку, согласно которой развитие знания происходит путём постоянного добавления новых положений к накопленной сумме истинных знаний /116, с.146/, то именно математика более других подходит под модель кумулятивной науки. Общеизвестно, что многие её результаты не претерпели каких-либо изменений со времён античности. Так, геометрия Евклида после открытия неевклидовых геометрий не была отброшена, но стала сосуществовать вместе с ними /141, с.165/. При этом Кроу допускает, что появление неевклидовых геометрий привело к возникновению революционных взглядов на природу математики, то есть к революции в философии математики, но о революции внутри самой математики, по его мнению, и речи быть не может /142, с.470/. Иначе обстоят дела в естествознании, и классический пример этому - коперниканская революция. Одна из главных причин этого различия лежит в неконтролируемости математического познания эмпирическими фактами. В математике отсутствует один из важнейших естественно-научных механизмов смены концептуальных представлений – эмпирическая фальсифицируемость. Представления Кроу о революциях вызвали возражения его оппонентов. Так, для Е. Коппельман революции в математике означают не отбрасывание старых объектов, а изменение значения и объёма соответствующих понятий /150, с.463/. Эта точка зрения близка и Г.И. Рузавину. Рузавин согласен, что развитие математики может сопровождаться переосмыслением и, в каком-то смысле, изменением значения и объёма старых математических понятий и теорий, т.е. может изменяться контекст, в котором они рассматриваются. Такие изменения он называет качественными и связывает революции в математике с радикальными качественными изменениями в её концептуальных структурах /108, с.187/.

Вероятно правы те исследователи, которые утверждают, что в математике происходит непрерывное расширение области строго доказанного и неопровержимого знания. Но правы и те, кто подчёркивают, что новые математические факты не просто добавляются к уже имеющимся, но могут вести и к существенному переосмыслению последних. Кроу строго придерживался куновской интерпретации понятия «научной революции». Однако, чтобы было возможным применять это понятие к математике, оно должно быть использовано в отличном от куновского смысле, так оно и использовалось, в частности, Г.И. Рузавиным и Е. Коппельман.Напомним, что под научными революциями Кун понимал /63, с.128/ такие некумулятивные эпизоды развития науки, во время которых старая парадигма замещается целиком или частично новой парадигмой, несовместимой со старой. Подобные смены парадигм оправданно называть революциями, исходя из очевидной аналогии с политической революцией. В частности, Кун отмечает /63, с.128/, что политические революции начинаются с роста сознания, что существующие институты перестали адекватно реагировать на общественные проблемы. Аналогично, научные революции во многом точно так же начинаются с возрастания сознания, что существующая парадигма перестала адекватно функционировать при исследовании природы. Понятие «научной революции» у Куна подразумевает в качестве своего дополнения концепцию несоизмеримости следующих друг за другом теоретических систем. Но в математике проблема несоизмеримости между теориями даже не поднимается. Что и не удивительно, ведь у Куна речь шла о ситуации конкуренции теорий, относящихся к одной и той же области явлений, а такая ситуация в математике практически отсутствует. В той мере, в какой концепция Куна обрисовывает развитие науки как последовательность связанных между собой узами традиции периодов, прерываемую некумулятивными скачками (научными революциями), к математике она без сомнения не применима. М. Кроу приводит в связи с этим высказывание знаменитого немецкого математика Г. Ганкеля /141, с.165/, который в 1868 году утверждал, что «в большинстве наук одно поколение разрушает то, что построило другое… Только в одной математике каждое поколение строит новую историю на старой структуре».

Подойдем теперь к концепции научных революций, предложенной Томасом Куном с несколько иной точки зрения. Описание «научных революций» для Куна было важно в силу их философской значимости, но он отлично сознавал, что тем самым описывается лишь один из путей, по которым трансформируется знание. Есть и другие. Так, новая теория может не противоречить ни одной из предшествующих ей. Она может касаться исключительно тех явлений, которые раньше не были известны. Например, квантовая механика имеет дело, главным образом, с субатомными феноменами, не известными до ХХ века. Следовательно, переход к ней не укладывается в схему «научной революции» по Куну. Или новая теория может быть просто теорией более высокого уровня, чем теории, известные ранее, - теорией, которая связывает воедино группу теорий более низкого уровня, так что её формирование протекает без существенного изменения любой из них (пример, теория сохранения энергии). Схемы подобных переходов на первый взгляд гораздо ближе к математике, чем схема куновской «научной революции». Ведь связи между теориями в рассматриваемых случаях таковы, что сохраняется непрерывность в развитии науки. И всё же куновское описание «научных революций» имеет эвристический потенциал, полезный, на наш взгляд, и для понимания развития математики. В предыдущем параграфе мы рассуждали о том, что развитие математики почти не мыслимо без актов рефлексии над её историей, без рефлексивных преобразований, осуществляемых математиками либо над собственной деятельностью, либо над деятельностью математиков прошлого. Хорошо известным в психологии примером рефлексивного преобразования является так называемое переключение гештальта. Мы уже отмечали, что Томас Кун был склонен описывать переход к новым парадигмам, опираясь на это психологическое понятие. Появление нового гештальта, новой целостности восприятия происходит внелогическим путем, через акты озарения[39]. Постулирование «логических разрывов» было важно для Куна, отстаивающего концепцию несоизмеримости парадигмальных теорий. В математике нет научных революций куновского типа, нет несоизмеримости теорий. И всё-таки между математическими теориями существует определённый «логический разрыв». Математическая теория – это дедуктивно-замкнутая система, и, следовательно, выход за её пределы осуществляется тоже внелогическим способом. Новая парадигма для Куна всегда предполагает иное виденье мира, одни и те же явления начинают восприниматься с помощью других концептуальных категорий. Если даже новая теория и использует в той или иной степени «концептуальный аппарат» старой, логически он не связан ни с какими фрагментами старой теории /63, с.196/. То есть старые понятия в новой теории входят в совсем другие теоретические связи (при этом, конечно, появляется много новых понятий). Аналогичным образом в математике переход к новой теории может быть (мы это уже видели на примере возникновения гиперболической геометрии, теории фракталов) в ряде случаев осмыслен как результат неожиданного взгляда на определённые факты, которые рассматривались в рамках старой теории, как результат осознания того, что эти факты могут быть поняты и могут быть интересны в совершенно ином теоретическом контексте.

Одной из основных задач для любого исследователя, интересующегося развитием математики, несомненно, является выделение схем, образцов такого развития. Как мы уже отмечали выше, Кроу заявлял о том, что конечная цель его исследования - «попытаться распознавать образцы изменений в истории математики». Китчер вообще объявлял главной задачей философии математики «идентификацию тех модификаций в системе знания, которые ведут к новому знанию». Работа Е. Коппельман «Прогресс в математике» /150/ напрямую посвящена классификации тех путей, по которым происходят качественные сдвиги в развитии математики[40]. Разумно предположить, что схемы переходов к новым математическим теориям (схемы межпрактических переходов, если пользоваться терминологией Китчера) могут быть разными. Но, несомненно, как это видно хотя бы из анализа возникновения гиперболической геометрии, в истории математики существовали межпрактические переходы, в которых появление новых теорий являлось прямым следствием рефлексивных преобразований, которые протекали по схеме, очень напоминающей схему куновских «научных революций».

Развитие математики можно представить как включающее в себя элементарные звенья следующей структуры (мы пользуемся обозначениями Китчера):

 

                         ® L' ®

                    Q- ® S' ®® Q'  

                         ® R' ®

                           

Для решения математических проблем (Q) вводится новый язык (L'), новые утверждения (S') и новые способы рассуждения (R'). При этом порождаются новые проблемы (Q'), формируется новое элементарное звено развития математики. Элементарные звенья образуют последовательные цепочки, которые могут пересекаться (стыковаться) между собой. Возникновение первого звена каждой цепочки, скорее всего, связано с внешней по отношению к математике проблеме, которая тем не менее находит свою интерпретацию в языке математики, как проблема математическая. Все эти последовательные цепочки, пересекаясь (стыкуясь, переплетаясь) между собой, вообще говоря, не обязаны выводить нас за пределы той или иной математической теории. И всё-таки некоторые новации приводят к выходу за пределы той дедуктивной системы, в рамках которой они были порождены, приводят к тому, что Q' становится проблемой, формулируемой уже в другой математической теории. Чем же могут быть подобные процессы обусловлены?

Известный отечественный специалист в области философии науки С.Р. Микулинский в своё время подчеркивал большую методологическую значимость той схемы трансформации научного знания, которую можно обнаружить в «Структурах научных революций» Томаса Куна (см. послесловие к /63/). Изучая проблемы развития биологии, С.Р. Микулинский предложил графическую схему развития науки, которую можно описать следующим образом. Плоскости а, б, в, г   и т.д. отражают определённый уровень развития той или иной науки. После того, как в ней сложились конкретные методы исследования и создана теория, на каком-то участке этой плоскости происходит накопление новых данных, не укладывающихся в рамки существующих теорий. Начинает возникать новое направление в науке и происходит скачок, переход к изучению явления с новой стороны, в новом аспекте. Такие моменты Микулинский называет узловыми в развитии науки. Его схема акцентирует внимание на «точках» появления принципиально нового пути исследования. Согласно Микулинскому, открытие новых горизонтов вызывает подъём науки (А – стрелка переходаот плоскости а к плоскости б; Б – стрелка перехода от плоскости б к плоскости в и т.д.) на новые уровни развития. В сущности, в схему Микулинского, как он это сам и отмечает /63, с.281/, может быть уложена и куновская схема развития науки. Надо только линии подъёма А, Б, В и т.д. проинтерпретировать как экстраординарные исследования, приводящие к научным революциям. Возможно ли представить по схеме Куна-Микулинского и развитие математики? Отвечая на этот вопрос, прежде всего надо учесть некоторые особенности интерпретации развития математики с помощью куновской терминологии. По аналогии с определениями Куна, под парадигмами в математике можно понимать общепризнанные научные достижения, которые в течение определённого периода времени обеспечивают модели проблем и решений для математического сообщества /63, с.26/. Работа в рамках конкретных математических теорий очень похожа на «нормальную науку» Томаса Куна. Математическая теория функционирует как парадигма, пока она продолжает порождать исследовательские проблемы, интересные для большой части математического сообщества. Кун четко различает термины «научная революция» и «экстраординарные исследования» /63, с.127/. Переход к новой парадигме, как новой традиции нормальной науки подразумевает выход за рамки традиционных исследований, что собственно и составляет суть экстраординарной науки. Научная революция же – это то, что может произойти в результате экстраординарных исследований, а может и не произойти. Несомненно, что математики могут осознавать себя как в рамках теории, так и вне сложившихся теоретических систем. Поэтому, хотя в математике и нельзя говорить о «научных революциях» в куновском смысле, но зато здесь можно говорить об экстраординарной науке. Микулинский связывал переход от нормальных исследований к экстраординарной науке с помощью постулирования неких «узловых» точек, характеризующихся тем, что в них накапливаются данные, не укладывающиеся в рамки существующих теорий. Но оказывается, что подобные представления близки и исследователям развития математики. Известный отечественный специалистом в области философии и истории математики К.А. Рыбников отмечал, что переход к новой математической теории может быть осмыслен как результат столкновения математиков с проблемами, не решаемыми внутренними концептуальными средствами той теории, в рамках которой они возникли[41]. В подобных случаях затруднения часто могут разрешиться лишь переходом к новым теоретическим основаниям. Но для этого требуется выход за рамки нормального математического исследования, т.е. начало экстраординарных (нетрадиционных) исследований в данной конкретной области математики, исследований вне парадигмы. В сущности, на примере возникновения гиперболической геометрии мы как раз и сталкиваемся со случаем, когда Лобачевский, решая традиционную задачу, оказывается вынужденным вводить невозможные с точки зрения «нормальной» (евклидовой) геометрии объекты и представления. До какого-то времени незаметно даже для себя он выходит за рамки нормальной математики, его исследования приобретают черты экстраординарности. «Диковинные конструкции» становятся узаконенными лишь после «разработки другого набора правил» - создания новой геометрии.

Проведём некоторую аналогию между физической и математической теориями. Физическая теория предполагает существование связи между объектами данной области знания и понятийной структурой. Понятийная структура и есть не что иное, как теория данной области знания. Как писал Гильберт /24, с.97/, подобно тому, как статические, механические, электродинамические факты организуются в теории статики, механики, электродинамики, а факты из области физики газов – в теорию газов, геометрические факты организуются в геометрию, а арифметические – в теорию чисел. В основании теории всегда лежат некоторые предположения о данной области знания. Гильберт пишет /13, с.98/: «Утверждение линейности уравнения плоскости, таким образом, является достаточным в геометрии (достаточны для построения полной структуры знания в соответствующей области – М.В.), … ортогональное преобразование координат точек достаточно для получения полноты обширного знания в геометрии евклидового пространства… Аналогично законы и правила вычисления для целых чисел достаточны для задания теории чисел. Такая же роль придаётся закону параллелограмма сил в статике, нечто подобное можно сказать и о дифференциальных уравнениях движения Лагранжа в механике… В центре элементарной теории излучения находится закон Кирхгоффа об отношении между излучением и поглощением; сходную роль имеет закон Гаусса при вычислении вероятностей». Такие основные предположения или утверждения (фундаментальные факты) вполне логично называть генетическим базисом новой теории. Заметим при этом, что если в физических науках оправдано противопоставление понятийной структуры и физических фактов, то в математике понятийная структура сама может рассматриваться в качестве совокупности математических фактов. Тогда задача обнаружения новой математической теории может быть понята как задача открытия некоторой совокупности математических фактов, которые обладают потенциальной возможностью развиться в новую дедуктивную систему [42]. Экстраординарные исследования в математике (исследования за рамками парадигмы) в конце концов могут привести к новому базису, обеспечивающему «нормальность» научной работы, т.е. к новой математической теории. Согласно с рассматриваемой схемой, возникновение новых теорий в математике есть следствие обнаружения фундаментальных математических фактов, которые не могут быть систематизированы в рамках существующих математических теорий. Математические факты, которые не удаётся в этих теориях систематизировать сродни аномальному опыту[43]. Но после трансформации теоретического «видения» они оказываются составной частью генетического базиса новой теоретической системы. Пример с открытием Лобачевского показывает, что экстраординарный характер исследования может порой быть осознан лишь «задним числом». А до поры до времени математик совершенно незаметно для себя создаёт генетический базис новой теории! Нужен механизм рефлексивных преобразований, чтобы новая теория предстала пред ним как свершившийся факт.

 

ГЛАВА 4

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

 

 

4.1. Особенности формирования канторовской теории множеств

 

Теория множеств, возникшая в математике в конце 19 века, явилась, вне всякого сомнения, революционной и определяющей математической доктриной. Она способствовала перестройке на теоретико-множественной основе многих важных разделов математики, сознательному применению в них теоретико-множественных методов. Как отмечает Ф.А. Медведев в своей известной монографии «Развитие теории множеств в 19 веке», из канторовской теории множеств непосредственно выросли такие дисциплины, как теория функции действительного переменного, общая топология, функциональный анализ, под её влиянием претерпели существенные изменения теория вероятностей и алгебра /79, с.5-6/.

 Вклад Г. Кантора в теорию множеств столь значителен, что её нередко представляют творением одного человека. Медведев приводит слова Е. Цермело, который писал о теории множеств, что «… все более поздние исследования в этой области воспринимаются лишь как дополнительные развития его (т.е. Г. Кантора – М.В.) основных мыслей» /79, с.6/. Существенно при этом и то, что Г. Кантор был одним из первых[44], кто осознал множество как нетривиальный математический объект. Именно у него в этом смысле происходит своеобразное «переключение гештальта», - множество начинает рассматриваться как объект специальной теории. Академик П.С. Александров, описывая вклад Г. Кантора в математику, разделил полученные им результаты на две части (см. /5, с.290-292/). С одной стороны, Кантор ввёл основные понятия, касающиеся точечных множеств, т.е. множеств, элементами которых являются действительные числа: речь идёт о таких понятиях, как замкнутое множество, множества всюду плотные и нигде не плотные на прямой или в n-мерном пространстве и т.д. Сюда относится и такое фундаментальное достижение Кантора, как определение им нигде не плотного на отрезке [0, 1] числовой прямой множества, известного сейчас под названием канторовского совершенного множества. Введя эти понятия и доказав простейшие, относящиеся к ним теоремы, Кантор, тем самым стал основателем так называемой теоретико-множественной топологии. Эти исследования, несмотря на их новаторский характер, в целом примыкали к работам крупнейших математиков 19 века, таких как Вейерштрасс, Дюбуа-Раймон, Риман, Дедекинд и др. Однако параллельно с этим, поначалу лишь как аппарат осмысления точечных и числовых множеств, Кантор начинает создавать свою абстрактную теорию множеств. И, как пишет Ф.А. Медведев, «почувствовав значение возникающей математической дисциплины, он забросил свои исследования по теории чисел и теории функций, целиком посвятив себя разработке проблем, связанных с учением о множествах» /79, с.7/. Он вводит классические сейчас представления о счётных и несчётных множествах, о существовании бесконечных множеств различных мощностей, в частности, о несчётности арифметического континуума (множества всех действительных чисел), более того, о возможности к каждому множеству закономерно построить множество большей мощности, а именно множество всех подмножеств данного множества; далее, вводит понятие упорядоченного и, в частности, вполне упорядоченного множества; равно как определяет и свойства основных действий над множествами, отображения множеств.

Ф.А. Медведев склонен рассматривать возникновение теории множеств как, в некотором смысле, итог развития почти всей математики 19 столетия /79, с.8/. Преувеличение это или нет, но, во всяком случае, приводимый им материал (которого мы отчасти коснёмся ниже) достаточно убедительно показывает, что появление теории множеств было исторически закономерно. То, что эту закономерность удалось реализовать, главным образом, Г. Кантору, можно объяснять масштабом и неординарностью его личности, как человека и как учёного. Но, несмотря на всё это, очевидно должны были существовать предпосылки для его творчества и в том математическом материале, с которым он имел дело.

Уже во времена Евклида математики прекрасно сознавали, что постоянно имеют дело в своей науке с различными множествами. Так, среди основных определений, даваемых Евклидом к пифагорейской теории чисел, мы находим следующее определение числа: «число - множество составленное из единиц» /38, с.9/. С помощью множеств точек, понимаемых как единицы, обладающие местом, пифагорейцы, как известно, пытались представить геометрические объекты. Но потребовалось более двух тысяч лет, чтобы математика обогатилась теорией множеств. Важно, впрочем, заметить, что основным понятием канторовской теории множеств является не просто множество, а множество актуально-бесконечное. Античность же в целом, следуя завету Аристотеля (infinitum actu non datur), избегала понятия актуальной бесконечности. Не смотря на это, бесконечность оставалась постоянным атрибутом математического мышления. По мнению известного историка математики И.Г. Башмаковой, само возникновение теоретической математики характеризуется, во-первых, тем, что все математические объекты становятся абстрактны, а, во-вторых, тем, что все её предложения начинают относиться к бесконечному множеству объектов /12, с.175/. Значение бесконечности для математики неоднократно подчёркивалось. Так, в своей известной монографии «Основания теории множеств» А.А. Френкель и И. Бар-Хиллел в своё время утверждали /129, с.238/: «Для математики – в отличие от почти всех остальных наук – это понятие (бесконечности – М.В.) является настолько жизненно необходимым, что огромное большинство фактов, не имеющих отношение к бесконечности, едва ли не тривиально». При этом, однако, попытки содержательного раскрытия понятия бесконечности (т. е. попытки связывания с ним определённых математических положений, теорем) с помощью понятий числа и величины не привели до Кантора к серьёзным результатам (см., например, /79, с.67-73/). Убедительных математических результатов удалось достичь только после введения Г. Кантором в математику абстрактных актуально-бесконечных множеств. Но это происходит лишь в 19 веке. Могли ли тогда сложиться обстоятельства, объективно способствующие этому? Историко-математическая литература отвечает на такой вопрос утвердительно. Обратимся, например, к очерку по истории теории множеств, написанному от лица Н. Бурбаки (см. /16, с.39/). В нём, в частности, говорится, что множества, возникшие в классической математике, обычно могли быть полностью описаны конечным числом числовых параметров, так что рассмотрение их могло свестись к рассмотрению конечного множества чисел (так обстояло дело, к примеру, с алгебраическими кривыми и поверхностями, которые долгое время были почти единственным строительным материалом «фигур» классической геометрии). Но теоретические исследования арифметики, проведённые в начале 19 века Гауссом, результаты мощных усилий ведущих математиков 19 века, направленные на обоснование математического анализа, работы Дедекинда по теории чисел и некоторые другие работы привели к целесообразности рассмотрения бесконечных числовых и ряда других совокупностей.

Если обратиться к классическому труду К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования» (1801), то можно обнаружить, что теоретико-множественные идеи, в том или ином виде, пронизывают его с первых до последних страниц /79, с.15/. Гаусс нигде не делает попытки сформулировать понятие актуально-бесконечного множества в качестве самостоятельного объекта изучения или выделить его как некоторое вспомогательное орудие для изучения свойств целых чисел, тем не менее, внутренние потребности самой математики заставляют его постоянно пользоваться объектами, которые мы можем рассматривать как референты для этого понятия. Так, с первых же страниц книги Гаусс вводит для множества целых рациональных чисел разнообразные отношения эквивалентности, называемые им сравнением по тому или иному модулю. Но тем самым множество целых рациональных чисел разбивается им на самые различные (в зависимости от выбранного модуля) классы чисел. Данные классы Гаусс называет «вычетами данного числа a по модулю m» /79, с.16/. Эти вычеты предстают нам как актуально-бесконечные множества, относительно которых для любого числа однозначно решается вопрос, - принадлежит ли оно ему или нет. Оперируя с подобными объектами, Гаусс совершенно естественным образом использует такие теоретико-множественные операции как включение и пересечение /79, с.19/. Более того, Медведев находит у Гаусса также такой важный теоретико-множественный момент, как фактическое использование аксиомы выбора более чем за столетие до её явной формулировки, сделанной Цермело[45] /79, с.20/. Однако и бесконечные множества, и операции над ними интересуют Гаусса лишь постольку, поскольку они могут служить вспомогательным средством в теории чисел. Как пишет в одной из своих статей по истории математики И.Г. Башмаковой /79, с.21-22/, разбиение чисел на классы вычетов дало начало одной чрезвычайно важной идее, а именно идее взаимности между простыми числами и соответствующими им разбиениями, так как оказалось, что изучение свойств числа p с точки зрения теории делимости может быть сведено к рассмотрению классов вычетов по p. Но «для самого Гаусса, однако, первичным всегда является число p, оно предполагается заданным независимо от разбиения на классы вычетов, а соответствующее разбиение оказывается вторичным, производным от этого числа p» (цит. по /79, с.22/). Гауссу в этом отношении Башмакова противопоставляет Дедекинда, который впоследствии «при основании теории идеалов встал на противоположную точку зрения, приняв за первичное разбиение целых чисел некоторого алгебраического поля на классы» (там же). Итак, Башмакова, как и Медведев, фиксирует некоторую неиспользованную Гауссом возможность переоценки значения тех понятий, с которыми он оперирует, в частности, как оказывается, числа и классы вычетов могли поменяться местами в качестве непосредственных объектов исследования. Гносеологически эту ситуацию можно описать с помощью понятия рефлексивной симметрии. Действительно, Гаусса интересует число р, а разбиение на классы вычетов оказывается вторичным, производным от p, Дедекинду же важно разбиение целых чисел некоторого поля на классы; и в этом смысле их позиции рефлексивно симметричны; однако выбор направления исследования в ту или иную сторону, очевидно, разрушает симметрию.

Истоки некоторых важных понятий теории множеств можно обнаружить и в проективной геометрии (см. /79, с.28-33/). Медведев отмечает, что основной идеей, сделавшей проективную геометрию самостоятельной наукой, была идея взаимнооднозначного соответствия /79, с.29/. С помощью этого соответствия Кантор будет определять важнейшее для его теории понятие равномощных множеств. Однако, как мы видим, оно играет определяющую роль и в проективной геометрии. Правда здесь оно используется не в столь общем виде, как в дальнейшем у Кантора. Взаимнооднозначное соответствие в проективной геометрии применяют к строго определённым множествам – точкам, прямым, плоскостям, и на сам его характер накладывают довольно жёсткие ограничения. Вводится же оно посредством операции параллельного или центрального проектирования. Медведев отмечает, что применение операции проектирования к геометрическим объектам во многом способствовало актуализации составляющих их множеств. Так Штейнер, например, в своей работе по проективной геометрии (1832) прямо указывал, что на прямой существует бесконечное множество следующих друг за другом точек; пучок лучей или связку плоскостей он также представлял в качестве актуально-бесконечных множеств /79, с.29/[46]. Интересно то, что Штейнер, характеризуя множества, между которыми можно установить проективное соответствие, ввёл для этого понятие мощности. Именно здесь, как указывал Кантор, он заимствовал это понятие и сам термин «мощность», сняв с взаимнооднозначного соответствия ограничение быть проективным и беря его во всей мыслимой общности для произвольных множеств /79, с.30/.

Можно привести гораздо больше примеров[47], которые являются выражением того принципиального факта, что в 19 веке явно или неявно присутствующие в математике со времён античности различные бесконечные множества стали интенсивно актуализироваться, т. е. рассматриваться как непосредственно данные. Это объясняется тем, что девятнадцатый век характеризуется углублёнными исследованиями оснований многих математических дисциплин. В ходе этих исследований вскрылась настоятельная необходимость использования актуально-бесконечных множеств в самых разных областях. При этом, как отмечает Медведев /79, с.34-41/, самый мощный поток идей, связанных с теоретико-множественными представлениями, дал математический анализ. Исторически анализ возник на базе геометрии и механики. Но в 19 веке, когда он вырос в огромное здание и в применении анализа были достигнуты выдающиеся успехи, естественными казались попытки создать для него собственный фундамент. Тем более, что внутри анализа к тому времени выработались представления, не укладывающиеся в рамки господствующих геометрических и механистических представлений. В ходе работы были установлены точные определения таких понятий анализа, как непрерывность, сходимость, дифференцируемость и т. п. Причём эти понятия понимались как локальные, т. е. обычно характеризующие соответствующие обстоятельства в отдельных точках. В привычном с геометрической и механистической точек зрения однородном непрерывном континууме стали всё больше и больше выделяться множества точек, на которых отдельные функции не обладают непрерывностью, не сходятся, не дифференцируются. Процесс этот достиг такой стадии, что получаемые при этом совокупности особых точек оказывались бесконечными множествами, и, следовательно, начали создаваться благоприятные условия для рассмотрения всего континуума в качестве множества точек и, с другой стороны, для выделения из него разнообразных точечных множеств. Особую роль в этом сыграл аппарат тригонометрических рядов. На протяжении 18 века основным средством аналитического изображения функций был аппарат степенных рядов, которые характеризуются тем, что областью их сходимости при конкретных значениях х  выступают нерасчленённые отрезки точек. Однако когда в 19 веке для тех же целей стали использоваться тригонометрические ряды, то оказалось, что отдельные тригонометрические ряды настолько хороши, что сходятся на всём интервале (-p, p); другие же настолько плохи, что не сходятся ни в одной точке этого интервала; третьи сходятся на том или ином множестве отдельных точек. Многообразие типов множеств, получаемых при этом, оказалось настолько большим, что от целостного континуума, с которым приходилось работать в области сте