Разброс по импульсу и координате

 

На рис. 6.7 изображены два волновых пакета. В верхней части показан волновой пакет, состоящий из сравнительно широкого распределения собственных состояний импульса. Большой разброс собственных состояний импульса (большое значение ∆ p  ) приводит к относительно узкому пространственному распределению (малому значению ∆ x  ). В нижней части рисунка показан волновой пакет, составленный из сравнительно узкого распределения собственных значений импульса (с малой величиной ∆ p  ), что приводит к большому разбросу в пространственном распределении (большой величине ∆ x  ).

Связь между ∆ p   и ∆ x  , проиллюстрированная на рис. 6.7, носит универсальный характер. Волновой пакет, охватывающий большой диапазон импульсов (с большой неопределённостью импульса), будет иметь небольшой разброс по положению (малую неопределённость координаты). Эта взаимосвязь порождается интерференцией. Волновой пакет, составленный из широкого набора собственных значений импульса, обладает широким спектром длин волн, поскольку каждому собственному значению импульса соответствует волна амплитуды вероятности длиной λ  = h  / p  .

 

 

Рис. 6.7. Распределение вероятности импульса (p) и распределение вероятности координаты (x) для двух волновых пакетов. В верхней части имеет место широкий разброс p (большое значение ∆ p ), который порождает малый разброс по x (малое значение ∆ x ). В нижней части разброс по p мал ( ∆ p мало́), что приводит к увеличению разброса по x ( ∆ x велико)

 

Все волны амплитуды вероятности в пакете могут конструктивно интерферировать в некоторой точке пространства. Однако, как показано на рис. 6.2, с удалением от этой центральной точки конструктивной интерференции нарастает деструктивная интерференция. В любой точке, далёкой от этого центра, одни волны будут положительными, а другие — отрицательными (см. рис. 6.2). Когда разброс длин волн велик, большая разница в длинах волн приводит к тому, что деструктивная интерференция начинается очень близко от центральной точки максимальной конструктивной интерференции, и пакет оказывается узким (большое значение ∆ p  , малое — ∆ x  ). Когда разброс по длинам волн мал, то есть длины волн различаются несущественно, надо значительно удалиться от центральной точки идеальной конструктивной интерференции, чтобы добраться до места, где равное число волн имеет положительные и отрицательные значения. В этом случае значение ∆ p   мало́, а ∆ x   — велико.

Ввиду особой важности представления о разбросе по импульсу и о связанном с ним разбросе по координате давайте ещё раз рассмотрим смысл разброса. Всё это связано с экспериментами. В отдельном эксперименте по измерению импульса частицы может быть получено лишь одно значение. У вас есть некоторый инструмент. Он выдаёт одно число. Он не может сообщить, что импульс равен одновременно 10 и 50. Каким же образом мы получаем одно значение, если наш пакет обладает распределением импульсов?

Волновой пакет состоит из суперпозиции собственных значений импульса, то есть импульсных волн амплитуды вероятности, однозначно связанных со значениями импульса. Когда выполняется измерение, сопутствующее ему непренебрежимое возмущение заставляет систему «перепрыгнуть» из состояния суперпозиции в определённое собственное состояние. Измерение даёт значение импульса, которое соответствует данному собственному состоянию. Обратите внимание на то, что измерение меняет систему. Чтобы выполнить ещё одно измерение, нужно начать сначала и подготовить частицу тем же способом, что и в первый раз. При повторении процедуры подготовления волнового пакета он будет состоять из той же суперпозиции собственных значений импульса. Теперь выполним то же самое измерение, что и в первый раз. В общем случае мы получим другое значение импульса, поскольку волновой пакет состоит из множества импульсных волн, с каждой из которых связано своё наблюдаемое значение импульса.

Выполнив огромное число измерений, мы можем получить значение 400 (единицы в данном случае не важны) тысячу раз, значение 390 — восемьсот раз, 410 — восемьсот раз, но 200 и 600 — только по двадцать раз. Если по всем этим числам построить график, получится распределение вероятности, подобное тем, что показаны для импульса в левой части рис. 6.7. Такое распределение вероятности — это результат экспериментального определения состава волнового пакета. Теперь мы знаем, какова величина (вероятность) каждой волны в пакете. Такое же описание применимо и к положению нашего волнового пакета. Каждое измерение положения волновых пакетов, подготовленных идентичным образом, даёт одно положение зарегистрированной частицы. После множества измерений получается распределение по координате, подобное тем, что представлены в правой части рис. 6.7.