Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная масса , отстоящая от оси вращения на расстояние , обладает скоростью . Следовательно, ее кинетическая энергия равна

.

Сумма энергий даст кинетическую энергию всего тела:

,

или

.                                                                                    (4.29)

Найдем работу, совершаемую внешними силами при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с уравнением (3.25) работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению кинетической энергии тела. Таким образом,  или, согласно (4.29), . Так как ось совпадает с осью вращения, то  и .

Но согласно (4.21), .

Учитывая, что , получаем

                                                                                     (4.30)

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол  равна

                                                                                    (4.31)

В случае если , то .

 

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью  некоторой точки  и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью . В этом случае скорость -той элементарной массы тела определяется формулой

,                                                                             (4.32)

где  - радиус-вектор - той массы, проведенный из точки  (см. формулу (1.25) и рис.4.11).

                Рис. 4.11

 

Кинетическая энергия -той элементарной массы равна

.

Далее

.

Кинетическая энергия равна

.

Разобьем полученное выражение на три слагаемых:

Как следует из рис. 4.11, , где  - расстояние -той массы от оси вращения.

Соответственно третье слагаемое равно

, где -момент инерции тела относительно оси вращения .

Преобразуем второе слагаемое следующим образом:

,

 - радиус-вектор центра масс, проведенный из точки .

Можно записать, что

.                                                    (4.33)

Если в качестве точки  взять центр масс тела , то  и формула (4.33) упростится следующим образом:

,                                                                       (4.34)

где  - скорость центр масс,  - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, полная кинетическая твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии его вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

 

Задачи

Задача 1 Однородный цилиндр массы  и радиуса  скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом (рис.4.12). Найдем уравнения движения цилиндра.

 

Решение

 

 

                                             Рис.4.12                               

 

На рис. изображены силы, действующие на тело, и точки их приложения:

 - сила тяжести,  - сила реакции опоры,  - сила трения покоя.

В проекциях на положительные направления  и  запишем уравнения движения:

,                                                                       (1)

,                                                                                     (2)

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет связь между ускорениями:

.                                                                                        (3)

Решение трех уравнений дает возможность найти ускорения  и , а также силу .

 

Задача 2 Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу  = 80 г, (рис.4.13) перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами  = 100 г и  = 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

 

Решение

 

                           Рис.4.13

 

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

: ,                                                                    (1)

: .                                                                   (2)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

,                                                                               (3)

где  - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси вращения, угловое ускорение . Согласно третьему закону Ньютона , . Решая систему трех уравнений, получим

.

Отсюда ускорение равно:

.                                                                          (4)

После подстановки числовых значений, получим

 (м/с²)

 

Задача 3 Маховик в виде сплошного диска радиусом  = 0,2 м и массой  = 50 кг раскручен до частоты вращения  = 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через  = 50 с. Найти момент  сил трения.

 

Решение

 

Работа сил трения равна изменению кинетической энергии диска

,

где  - начальная угловая скорость диска,  - момент инерции диска,  - угол, на который повернется диск до остановки при равнозамедленном движении.

Отсюда .

Произведем вычисления

 (Н·м)

 

Задача 4 Платформа в виде сплошного диска радиусом  = 1,5 м и массой  = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой =10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой  = 60 кг. Какую линейную скорость будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

 

Решение

 

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения , совпадающей с геометрической осью платформы равен нулю. При этом момент импульса  системы платформа – человек остается постоянным.

,                                                                             (1)

где ,  - момент инерции платформы,  - момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1) примет вид:

,

или

,                                                                     (2)

где штрихованные величины относятся к конечному состоянию.

Учитывая, что , , , , ,

получим

.

Отсюда

.

Произведем вычисления

=1 (м/с).

 

Задача 5 С наклонной плоскости высотой  скатываются 1) обруч; 2) сплошной цилиндр; 3) шар. Найти скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

 

Решение

 

Полная кинетическая энергия скатывающегося тела:

.

Так как по закону сохранения механической энергии  или , то

,

откуда

Скорость тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости высотой , равна

1) Для обруча , имеем .

, .

2) Для сплошного цилиндра , откуда .

, .

3) Для шара , откуда .

, .

 

Тесты

1. Единицей измерения модуля момента импульса тела является…

1) … ; 2) … ; 3) …  ; 4) … ; 5) … .

2. Модуль момента силы в системе СИ измеряют в…

1) …в ньютонах на метр [Н∙м]; 2) …в ньютонах, деленных на метр [Н/м]; 3) …в ньютонах на метр квадратный [ H / m ² ]; 4) …в метрах квадратных [м]; 5) …в ньютонах [Н].

3. Единицей измерения момента инерции тела является…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

4. Дано выражение:   , где - вектор силы, - радиус-вектор точки приложения силы. Это выражение определяет…

1) …работу силы; 2) …момент силы; 3) …импульс момента силы; 4) …кинетическую энергию точки; 5) …изменение импульса точки.

 

5. Моментом импульса называется…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

6. В основном законе вращения тела вокруг неподвижной оси ; где  – вектор момента силы, - вектор момента импульса, - время. Как направлены вектора  и ?

1) …оба перпендикулярно оси вращения и не параллельны друг другу; 2) …взаимно перпендикулярны и каждый перпендикулярен вектору угловой скорости; 3) …вдоль оси вращения в одну сторону; 4) …вдоль оси вращения в противоположные стороны; 5) …оба по касательной к траектории вращающейся точки.

7. Укажите в ответе номер правильного выражения для закона сохранения момента импульса при вращении точки вокруг неподвижной оси…

1) … , - импульс тела; 2) … ,  -момент силы; 3) …  , - момент инерции материальной точки,  - угловая скорость вращения точки; 4) , - угловое ускорение; 5) … .

8. При каком виде равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией?

1) …безразличном; 2) …неустойчивом; 3) …безразличном и неустойчивом; 4) устойчивом; 5) …при любом виде равновесия.

9. Общее условие равновесия тел можно записать в виде следующих уравнений…

1) … ; 2) … ; 3) …  и ; 4) … ; 5)  и .

10. Условие равновесия рычага имеет вид…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … .

11. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

12. При равномерном вращении тела сохраняется вектор…

1) …скорости ; 2) …нормального ускорения ; 3) …тангенциального ускорения ; 4) …импульса ; 5) …момента импульса .

13. Момент инерции тела I относительно оси, состоящего из частиц массой , равен…

1) … , - модуль угловой скорости; 2) … , L - момент импульса; 3) … ;                 4) … ; 5) … .

14. Главный момент внешних сил связан с угловой скоростью основным законом динамики для вращательного движения. Укажите номер выражения для момента сил…

1) … , r – радиус, m – масса; 2) … ; 3) … ; 4) ; 5) … .

15. Закон сохранения момента импульса L можно записать выражением…

1) … ,  сумма моментов внешних сил; 2) … , m – масса, v – модуль скорости, h - высота тела; 3) … , где I – момент инерции; - модуль угловой скорости; 4) … ; 5) … .

16. Какое из приведенных выражений позволяет записать момент импульса твердого тела?

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

17. Какое из соотношений, определяющих кинетическую энергию вращающегося тела, правильное?

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

18. Дано выражение: , где - момент импульса материальной точки, - время. Это выражение определяет…

1) …ускорение точки; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …вектор результирующей сил, действующих на точку; 4) …вектор силы в данной точке; 5) …вектор результирующего момента сил, действующих на точку.

19. Невесомая доска покоится на двух опорах (рис.4.14). Правая опора делит длину доски в отношении 1:3. На ее правый конец падает тело массой m₂ = 1 кг, скорость которого в момент удара v₂. Если после удара это тело полностью теряет свою скорость, то тело массой m₁ = 1 кг начнет двигаться со скоростью...

 

Рис. 4.14

1) … v ₁ = v ₂; 2) … v ₁ = v ₂; 3) … v ₁ = v ₂; 4) … v ₁ = 6 v ₂; 5) … v ₁ = 3 v _2.