Глава 4 закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела

Модуль 1.4

 

ГЛАВА 4 Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела

Момент силы

Моментом силы относительно точки  называется вектор , равный векторному произведению векторов  и :

,                                                                                    (4.1)

где  - радиус-вектор точки приложения силы , проведенный из точки , относительно которой определяется момент (рис. 4.1).

                                                   Рис. 4.1

 

Модуль вектора  равен произведению модуля силы  на ее плечо :

                                                                            (4.2)

где  - угол между  и .

Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую, вдоль которой действует сила.

Направлен вектор  перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила  и точка , причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора  образуют правовинтовую систему (поворот головки винта или буравчика в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора ). Поскольку его направление определяется условно,  является  псевдовектором.

Если тело может вращаться вокруг точки  произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением момента . Момент силы  называют также вращающим моментом.

Проекция вектора  на произвольную ось , проходящую через точку , называется моментом силы относительно этой оси:

.                                                                               (4.3)

Разложим силу  на три составляющие, как показано на рис. 4.2, а именно

 

где  - параллельная оси ,  - перпендикулярная оси ,  - направленная по касательной к окружности радиуса .

                       Рис. 4.2

 

Представим момент силы  относительно точки  в виде

.

Моменты  и  перпендикулярны к оси , поэтому их проекции на эту ось  равны нулю. Следовательно,

                                           (4.4)

Из трех составляющих силы  вращение вокруг оси  может вызвать только сила , причем она тем лучше осуществит этот поворот, чем больше ее плечо  относительно точки .

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил (рис. 4.3). Расстояние  между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары.

                         Рис. 4.3

Суммарный момент сил относительно точки  равен

.

Учтя, что , можно написать

,                                    (4.5)

где  (рис. 3). Полученное выражение не зависит от положения точки . Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор  перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведению любой из сил на плечо:

.                                                                       (4.6)

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом , равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю.

Отсюда следует, что сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

                                                                                  (4.7)

 

Задачи

Задача 1 Однородный цилиндр массы  и радиуса  скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом (рис.4.12). Найдем уравнения движения цилиндра.

 

Решение

 

 

                                             Рис.4.12                               

 

На рис. изображены силы, действующие на тело, и точки их приложения:

 - сила тяжести,  - сила реакции опоры,  - сила трения покоя.

В проекциях на положительные направления  и  запишем уравнения движения:

,                                                                       (1)

,                                                                                     (2)

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет связь между ускорениями:

.                                                                                        (3)

Решение трех уравнений дает возможность найти ускорения  и , а также силу .

 

Задача 2 Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу  = 80 г, (рис.4.13) перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами  = 100 г и  = 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

 

Решение

 

                           Рис.4.13

 

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

: ,                                                                    (1)

: .                                                                   (2)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

,                                                                               (3)

где  - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси вращения, угловое ускорение . Согласно третьему закону Ньютона , . Решая систему трех уравнений, получим

.

Отсюда ускорение равно:

.                                                                          (4)

После подстановки числовых значений, получим

 (м/с²)

 

Задача 3 Маховик в виде сплошного диска радиусом  = 0,2 м и массой  = 50 кг раскручен до частоты вращения  = 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через  = 50 с. Найти момент  сил трения.

 

Решение

 

Работа сил трения равна изменению кинетической энергии диска

,

где  - начальная угловая скорость диска,  - момент инерции диска,  - угол, на который повернется диск до остановки при равнозамедленном движении.

Отсюда .

Произведем вычисления

 (Н·м)

 

Задача 4 Платформа в виде сплошного диска радиусом  = 1,5 м и массой  = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой =10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой  = 60 кг. Какую линейную скорость будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

 

Решение

 

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения , совпадающей с геометрической осью платформы равен нулю. При этом момент импульса  системы платформа – человек остается постоянным.

,                                                                             (1)

где ,  - момент инерции платформы,  - момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1) примет вид:

,

или

,                                                                     (2)

где штрихованные величины относятся к конечному состоянию.

Учитывая, что , , , , ,

получим

.

Отсюда

.

Произведем вычисления

=1 (м/с).

 

Задача 5 С наклонной плоскости высотой  скатываются 1) обруч; 2) сплошной цилиндр; 3) шар. Найти скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

 

Решение

 

Полная кинетическая энергия скатывающегося тела:

.

Так как по закону сохранения механической энергии  или , то

,

откуда

Скорость тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости высотой , равна

1) Для обруча , имеем .

, .

2) Для сплошного цилиндра , откуда .

, .

3) Для шара , откуда .

, .

 

Тесты

1. Единицей измерения модуля момента импульса тела является…

1) … ; 2) … ; 3) …  ; 4) … ; 5) … .

2. Модуль момента силы в системе СИ измеряют в…

1) …в ньютонах на метр [Н∙м]; 2) …в ньютонах, деленных на метр [Н/м]; 3) …в ньютонах на метр квадратный [ H / m ² ]; 4) …в метрах квадратных [м]; 5) …в ньютонах [Н].

3. Единицей измерения момента инерции тела является…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

4. Дано выражение:   , где - вектор силы, - радиус-вектор точки приложения силы. Это выражение определяет…

1) …работу силы; 2) …момент силы; 3) …импульс момента силы; 4) …кинетическую энергию точки; 5) …изменение импульса точки.

 

5. Моментом импульса называется…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

6. В основном законе вращения тела вокруг неподвижной оси ; где  – вектор момента силы, -вектор момента импульса, - время. Как направлены вектора  и ?

1) …оба перпендикулярно оси вращения и не параллельны друг другу; 2) …взаимно перпендикулярны и каждый перпендикулярен вектору угловой скорости; 3) …вдоль оси вращения в одну сторону; 4) …вдоль оси вращения в противоположные стороны; 5) …оба по касательной к траектории вращающейся точки.

7. Укажите в ответе номер правильного выражения для закона сохранения момента импульса при вращении точки вокруг неподвижной оси…

1) … , - импульс тела; 2) … ,  -момент силы; 3) …  , - момент инерции материальной точки,  - угловая скорость вращения точки; 4) , - угловое ускорение; 5) … .

8. При каком виде равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией?

1) …безразличном; 2) …неустойчивом; 3) …безразличном и неустойчивом; 4) устойчивом; 5) …при любом виде равновесия.

9. Общее условие равновесия тел можно записать в виде следующих уравнений…

1) … ; 2) … ; 3) …  и ; 4) … ; 5)  и .

10. Условие равновесия рычага имеет вид…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … .

11. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

12. При равномерном вращении тела сохраняется вектор…

1) …скорости ; 2) …нормального ускорения ; 3) …тангенциального ускорения ; 4) …импульса ; 5) …момента импульса .

13. Момент инерции тела I относительно оси, состоящего из частиц массой , равен…

1) … , - модуль угловой скорости; 2) … , L - момент импульса; 3) … ;                 4) … ; 5) … .

14. Главный момент внешних сил связан с угловой скоростью основным законом динамики для вращательного движения. Укажите номер выражения для момента сил…

1) … , r – радиус, m – масса; 2) … ; 3) … ; 4) ; 5) … .

15. Закон сохранения момента импульса L можно записать выражением…

1) … ,  сумма моментов внешних сил; 2) … , m – масса, v – модуль скорости, h - высота тела; 3) … , где I – момент инерции; - модуль угловой скорости; 4) … ; 5) … .

16. Какое из приведенных выражений позволяет записать момент импульса твердого тела?

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

17. Какое из соотношений, определяющих кинетическую энергию вращающегося тела, правильное?

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

18. Дано выражение: , где - момент импульса материальной точки, - время. Это выражение определяет…

1) …ускорение точки; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …вектор результирующей сил, действующих на точку; 4) …вектор силы в данной точке; 5) …вектор результирующего момента сил, действующих на точку.

19. Невесомая доска покоится на двух опорах (рис.4.14). Правая опора делит длину доски в отношении 1:3. На ее правый конец падает тело массой m₂ = 1 кг, скорость которого в момент удара v₂. Если после удара это тело полностью теряет свою скорость, то тело массой m₁ = 1 кг начнет двигаться со скоростью...

 

Рис. 4.14

1) … v ₁ = v ₂; 2) … v ₁ = v ₂; 3) … v ₁ = v ₂; 4) … v ₁ = 6 v ₂; 5) … v ₁ = 3 v _2.

 

Модуль 1.4

 

ГЛАВА 4 Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела

Момент силы

Моментом силы относительно точки  называется вектор , равный векторному произведению векторов  и :

,                                                                                    (4.1)

где  - радиус-вектор точки приложения силы , проведенный из точки , относительно которой определяется момент (рис. 4.1).

                                                   Рис. 4.1

 

Модуль вектора  равен произведению модуля силы  на ее плечо :

                                                                            (4.2)

где  - угол между  и .

Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую, вдоль которой действует сила.

Направлен вектор  перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила  и точка , причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора  образуют правовинтовую систему (поворот головки винта или буравчика в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора ). Поскольку его направление определяется условно,  является  псевдовектором.

Если тело может вращаться вокруг точки  произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением момента . Момент силы  называют также вращающим моментом.

Проекция вектора  на произвольную ось , проходящую через точку , называется моментом силы относительно этой оси:

.                                                                               (4.3)

Разложим силу  на три составляющие, как показано на рис. 4.2, а именно

 

где  - параллельная оси ,  - перпендикулярная оси ,  - направленная по касательной к окружности радиуса .

                       Рис. 4.2

 

Представим момент силы  относительно точки  в виде

.

Моменты  и  перпендикулярны к оси , поэтому их проекции на эту ось  равны нулю. Следовательно,

                                           (4.4)

Из трех составляющих силы  вращение вокруг оси  может вызвать только сила , причем она тем лучше осуществит этот поворот, чем больше ее плечо  относительно точки .

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил (рис. 4.3). Расстояние  между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары.

                         Рис. 4.3

Суммарный момент сил относительно точки  равен

.

Учтя, что , можно написать

,                                    (4.5)

где  (рис. 3). Полученное выражение не зависит от положения точки . Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор  перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведению любой из сил на плечо:

.                                                                       (4.6)

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом , равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю.

Отсюда следует, что сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

                                                                                  (4.7)