Первая (прямая) задача динамики точки. Способы ее решения.

Ответы к билетам по теоретической механике

Первая (прямая) задача динамики точки. Способы ее решения.

По известной массе объекта и заданному закону его движения определить приложенную к объекту силу. Алгоритм решения: 1) F = ma. 2) Рисунок (движение и проложенные силы). 3) (х) -> …. (y) -> …. 4) F = (F_x² + F_y²)^(1/2).

 

 

Законы динамики.

Аппаратом решения задач динамики материальной точки являются законы Ньютона: 1). Материальный объект находится в равновесии (в состоянии покоя или равномерного движения), если на него не действуют силы, либо если равнодействующая равна нулю. 2). Единственной причиной возможного движения материального объекта является приложенная к нему внешняя сила. 3). Действие рождает противодействие. 4) Закон независимости действия сил. Если к материальному объекту приложено несколько сил, то сообщаемое этому объекту ускорение равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности. R = F₁ + F₂ + … + F_n; a = a₁ + a₂ + … + a_n; a₁ = F₁/m; a₂ = F₂/m; a_n = F_n/m.

 

 

Вторая (обратная) задача динамики точки.

Заключается в следующем: по заданной массе объекта, известным силам и с учетом начальных условий (состояния объекта в момент начала действия силы) найти закон движения этого материального объекта.

 

 

Интегрирование обратной задачи при действии на точку постоянной силы.

F = const. (P = mg). При действии на материальный объект постоянной силы уравнения движения могут быть получены путем двукратного интегрирования правых частей исходных дифференциальных уравнений с учетом начальных условий.  Пример решения задачи (возможно не нужен): Тело бросили с земли под углом к горизонту и оно летит по дуге, на него действует сила тяжести. Дано: P = mg, V₀, α₀, m(m), x₀ = y₀ = 0, t = 0. Найти: x(t), y(1). В любых задачах на рисунке объект изображается в произвольном положении. Рисунок: система координат x, y. Из начала координат идет дуга (траектория полета). В начале координат точка M₀ и вектор V₀ по касательной к дуге под углом α₀. Где-нибудь в середине дуги точка М и действующая на нее сила P вертикально вниз. Решение: 1) F = ma. 2) (x): mx’’ = 0, my’’ = -p = -mg. => x’’ = 0, y’’ = -g. => x = const = C₁. x’ = V₀cos(α₀) => x = x V₀cos(α₀)t |_t=0 = C2. x = V ₀ cos (α ₀) t. y’’ = -g; y’ = -ygt + C₃ |_t=0 = y’ = V₀sin(α₀) = -0 + C₃ => C₃ = V₀sin(α₀). y’ = V₀sin(α₀) – gt. y = V ₀ sin (α ₀) t – (gt ²)/2 + C₄ (C₄ = 0).

 

 

Интегрирование обратной задачи при действии на точку силы, зависящей от скорости.

Если F = f(V), то левую часть уравнения необходимо выразить через dV/dt. ma = F. (y): m (dV/dt) = mg – kmV. интеграл от 0 до V [dV/(g – kV)] = интеграл от 0 до t [dt]. – (1/k)*ln|g - kV| |₀^V = t |₀^t. – (1/k)*ln|1 – (kV)/g| = t. 1 – (kV)/g = e^-tk. V = (g/k)(1 - e ^{- tk}) = dy/dt => y = (g/k)(t + (1/k) e^-tk) + C.

 

 

Теорема импульсов для МС.

Теорема об изменении количества движения МС. k_i = m_iV_i – количество движения отдельной материальной точки. k = сумма от i=1 до n [(d/dt) (m_ir_i)] = (d/dt) (сумма от i=1 до n [ m_ir_i ]) = MV_c. k = MV_c (1). Т.е. при любом движении системы и любом количестве объектов, входящих в эту систему, ее количество движения определяется как количество движения простой материальной точки, имеющей масштаб всей системы и имеющей скорость центра масс. Мерой механического движения вращающегося тела является не количество движения, а кинетический момент. ТЕОРЕМА:

       m₁V₁ – m₁V₁₀ = (F₁^e + F₁^u)t

       m₂V₂ – m₂V₂₀ = (F₂^e + F₂^u)t

       ……………………………...

       m_nV_n – m_nV_n0 = (F_n^e + F_n^u)t

       k₁ – k₀ = R^et = S^e                                  (2)

       MV_c – MV_c0 = R^et = S^e

Конечная форма теоремы импульсов: Изменение главного вектора количества движения МС за некоторый промежуток времени геометрически равно импульсу внешних сил, приложенных к системе, за тот же интервал времени. Формулу (2) можно записать так:

       MV_cx – MV_cx0 = S^e_x          (3)

       MV_cy – MV_cy0 = S^e_y

Закон сохранения количества движения (следствие из теоремы):

if R^e = 0 -> S^e = 0 -> k₁ = k₀ = const -> MV_c = const -> V_c = const.

R^e_x = 0 -> S^e_x = 0 -> k_x = k_xo = const -> MV_cx = const -> V_cx = const.

 

 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы для поступательного, вращательного и плоского движения.

Общая формула: T₁ – T₀ = A^e. Для поступательного движения: (mV_c²)/2 – (mV_co²)/2 = A^e. Это уравнение тоже не имеет постоянной формы записи и определяется характером приложенных сил: A(P) = ±mgh, A(F_тр) = fNS, A(M_вр) = ± M_врα. Для вращательного движения: (Jw²)/2 – (Jw₀²)/2 = A^e. Для плоского движения: (Jw²)/2 – (Jw₀²)/2 + (MV_c²)/2 – (MV_co²)/2 = A^e.

 

 

Ответы к билетам по теоретической механике

Первая (прямая) задача динамики точки. Способы ее решения.

По известной массе объекта и заданному закону его движения определить приложенную к объекту силу. Алгоритм решения: 1) F = ma. 2) Рисунок (движение и проложенные силы). 3) (х) -> …. (y) -> …. 4) F = (F_x² + F_y²)^(1/2).

 

 

Законы динамики.

Аппаратом решения задач динамики материальной точки являются законы Ньютона: 1). Материальный объект находится в равновесии (в состоянии покоя или равномерного движения), если на него не действуют силы, либо если равнодействующая равна нулю. 2). Единственной причиной возможного движения материального объекта является приложенная к нему внешняя сила. 3). Действие рождает противодействие. 4) Закон независимости действия сил. Если к материальному объекту приложено несколько сил, то сообщаемое этому объекту ускорение равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности. R = F₁ + F₂ + … + F_n; a = a₁ + a₂ + … + a_n; a₁ = F₁/m; a₂ = F₂/m; a_n = F_n/m.