Тема 10.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Понятие дифференциального уравнения 2-го порядка и его частного и общего решения. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка: общее и частное решение. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Литература:

1. Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и др.). – Минск: БГЭУ, 2014. – Ч.2. – 270 с.

2. Шилкина, Е. И. Высшая математика: Часть 2. Учеб.-практ. пособие / Е. И. Шилкина, М. П. Дымков, В. А. Рабцевич. – Мн.: БГЭУ, 2014. – 167 с.

 

Задачи для самостоятельного решения:

10.2.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение y´´ = . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(1) = 0, y´(1) = 1.

10.2.2. Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их.

а) y´ = ; y(0) = 2;

б) y´´ = 2; y(0) = 1; y´(0) = − 2;

в) y´´´ = 6; y(0) = 1; y´(0) = 3; y´´(0) = 6.

 

Задания на межсессионную аттестацию

5.2.1. Написать первые пять членов последовательности  = .

5.2.2. Написать формулу общего члена последовательности

5.2.3. Доказать, пользуясь определением, что число а является пределом последовательности , если = , a = .

5.3.1. Доказать, пользуясь определением предела, что

5.3.2. Найти предел функции

a) ;

b) ;

c) ;

d)  ;

e) .

 

6.1.8. Исходя из определения производной, найти производную функции

y = .

6.1.9. Найти первую производную следующих функций:

4) y =

5) y = ;

6) y = .

6.1.10. Найти производную сложной функции

 

y = .

 

6.1.11. Найти производную неявной функции

.

6.1.12. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции y = ·lnx.

6.1.13. Найти приближенное значение  с точностью до двух знаков после запятой.

6.1.14. Найти предел, используя правило Лопиталя

6.2.7. Найти интервалы монотонности функции y = .

6.2.8. Найти экстремумы функции y = x· .

6.2.9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y =  на отрезке .

6.2.10. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции x .

6.2.11. Найти асимптоты кривой y = .

6.2.12. Исследовать функцию y =  и построить ее график.

7.1.1. Вычислить значения частных производных функции

u =  – x·y·z в точке М(2; –2; 1).

7.1.2. Вычислить  в точке (1, 1, 1), если u = ln(1 + x + ).

7.1.3. Дана функция z = , точка  и вектор . Требуется найти производную функцию z в точке  по направлению вектора  и градиент функции в данной точке.

7.2.1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных z = .

7.2.2. Методом Лангранжа найти условный экстремум функции z = 8 – , если ее аргументы связаны уравнением x + 3y = 0.

 

 

Задания на сессионную аттестацию

8.1.1. Взять неопределенные интегралы

а)

б)

в)

 

8.1.2. Проинтегрировать методом замены переменной и внесения под знак дифференциала

а)

б)

в)

г)

д)

8.1.3. Проинтегрировать по частям

а) ;

б) ;

в)

г) .

8.1.4. Проинтегрировать дроби

а)

б)

8.2.1. Взять определенные интегралы

и)

8.2.2. Вычислить методом подстановки

8.2.3. Вычислить с помощью универсальной тригонометрической подстановки

8.2.4. Вычислить интегрированием по частям

9.2.1. Разложить в ряд Маклорена

9.2.2. Разложить в ряд Тейлора

9.2.3. Вычислить, взяв три члена соответствующего ряда Маклорена и оценить погрешность ε

9.2.4. Разложить функцию в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f(x), заданную на отрезке [-π; π]. Постройте график данной функции при  

 

10.1.1. Доказать, что решением дифференциального уравнения y´´´ = является функция y = − sin x + 2x + C.

10.1.2. Доказать, что функция y =  является решением дифференциального уравнения y´´´ − 3y´ − 18y = 0.

10.1.3. Установить, является ли функция x² − y² − Cx = 0 общим интегралом дифференциального уравнения 2xyy´ + x² − y² = 0.

10.1.4. Показать, что функция y = x² + C является решением дифференциального уравнения y´ = 2x. Построить семейство интегральных кривых и выделить интегральную кривую, проходящую через точку (2; 3).

10.1.5. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, найти частное решение

 

9.1.1. Найти члены ряда:

а) ;  

б) ;   

в)

 

9.1.2. Исследовать сходимость ряда, используя следствие из необходимого признака сходимости

9.1.3. Исследовать сходимость ряда с помощью признаков сравнения

9.1.4. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера.

9.1.5. Исследовать сходимость ряда по признаку Коши.

9.1.6. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака

9.1.7. Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

10.2.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение y´´ = . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(1) = 0, y´(1) = 1.

10.2.2. Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их.

а) y´ = ; y(0) = 2;

б) y´´ = 2; y(0) = 1; y´(0) = − 2;

в) y´´´ = 6; y(0) = 1; y´(0) = 3; y´´(0) = 6.

 

 

Рефераты

 

Темы рефератов

 

1. Особые решения дифференциальных уравнений.

2. Ряд Фибоначчи и его приложения.

3. Золотое сечение.

4. Ряд и интеграл Фурье.

5. Математика и жизнь.

6. Дифференциальные уравнения и их приложения.

7. Кратные интегралы и их приложения.

8. Математика и музыка.

9. Интуиция и математика.

10. Приложения рядов к приближенным вычислениям.

11. Причины введения в математику элементов математического анализа.

12. Комплексные числа и жизнь.

13. История введения комплексных чисел.

14. Нужна ли нам теория вероятностей?

15. Статистика как раздел математики.

16. Теория игр.

17. Фракталы и их приложения.

18. Бифуркации и их значения.

19. Несобственные кратные интегралы.

20. Интегралы Коши, Римана, Лебега.

21. Параметрические интегралы.

22. Диофантов язык и десятая проблема Гильберта.

23. Продуктивность и креативность в математике.

24. Конструктивная математика.

25. Топологические пространства.

 

Требования к оформлению реферата

 

Объём реферата 20 страниц машинописного текста, шрифт Times New Roman 14, интервал 1,5, выравнивание по ширине, сквозная нумерация страниц, сквозная нумерация рисунков, сквозная нумерация формул, обязательно список литературы – минимум три источника.